Demostrar que este conjunto es abierto en $E = C([0,1], \mathbb R)$, con la norma $||.||_\infty$

Question

$E = C([0,1], \mathbb R)$, con la norma $||.||_\infty$. Deje $O$ libre de $\mathbb R$ y $$\Omega(O) = \{ f \in E: f(t) \in O, \forall t \in [0,1] \}$$ Mostrar que $\Omega(O)$ está abierto en $E$

Yo procedo de la siguiente manera: $\Omega(O)$ está abierto en $E$ fib de su complemento $$\Omega(O)^c = \{ f \in E: f(t) \in O^c, \forall t \in [0,1] \}$$ está cerrado en $E$.

Deje $(f_n)_{n \geq 1}$ ser una secuencia convergente en $\Omega(O)^c$$f_n \to f$. Debemos demostrar que: $f \in \Omega(O)^c$, o, equivalentemente, $f(t) \in O^c, \forall t \in [0,1]$

Tenemos: $\forall n \in \mathbb N, \forall t \in [0,1], f_n(t) \in O^c$ cerrado en $\mathbb R$. $f_n(t) \to f(t), \forall t \in [0,1]$, así que debemos tener: $f(t) \in O^c, \forall t \in [0,1]$. Hecho.

Pero nosotros no tenemos nada que ver con la norma (?!) Es mi prueba correcta?

Answer 1

Deje $f \in \Omega(O)$. Por lo $f(t) \in O, \forall t \in [0,1]$.

Tenemos que mostrar que existe una bola centrada $f$$\Omega(O)$,

lo que significa: $\exists \epsilon > 0$: si $||f-g||_\infty < \epsilon$,$g \in \Omega(O)$.

o, $\exists \epsilon > 0:$ si $|f(t)-g(t)| < \epsilon, \forall t \in [0,1]$,$g(t) \in O, \forall t \in [0,1]$.

o, $\exists \epsilon > 0: \big (f(t)- \epsilon; f(t) + \epsilon \big ) \subset O, \forall t \in [0,1]$.

Ahora, como $f([0,1])$ es compacto en $\mathbb R$, que alcanza su máximo y mínimo en$a$$b$$[0,1]$, respectivamente, por lo $f(a),f(b) \in f([0,1]) \subset O$. Por la apertura de $O$, existen positivo $\epsilon_a$$\epsilon_b$: $\big (f(a)- \epsilon_a; f(a) + \epsilon_a \big )$ $\big (f(b)- \epsilon_b; f(b) + \epsilon_b \big )$ están contenidas en $O$.

Deje $\epsilon = \min(\epsilon_a,\epsilon_b)$. Es fácil demostrar que con esta $\epsilon, \big (f(t)- \epsilon; f(t) + \epsilon \big ) \subset O, \forall t \in [0,1]$.

Hemos terminado.

Answer 2

Como se ha mencionado en uno de los comentarios, la prueba no es correcta. Usted ha hecho una errónea negación de la declaración de $f \in \Omega(O)$.

Aquí es lo que me propongo hacer, con una prueba directa. Tome $f \in \Omega(O)$. Tenemos que encontrar a $\epsilon > 0$ tal que $B(f,\epsilon)=\{g \in E \, | \, \Vert g-f\Vert < \epsilon \} \subset \Omega(O)$.

Como $O$ está abierto, para todos los $t \in [0,1]$, usted puede encontrar $\epsilon_t >0$ tal que $(f(t)-2\epsilon_t,f(t)+2\epsilon_t) \subset O$. Ahora como $f$ se supone debe ser continua, para todos los $t \in [0,1]$, también se pueden encontrar $\delta_t >0$ tal que para $\vert u-t \vert < \delta_t$, usted tiene $\vert f(u)-f(t) \vert < \epsilon_t$

Como $[0,1]$ es compacto, se puede cubrir por un número finito de intervalos $(t_i-\delta_i, t_i+\delta_i)$, $1 \le i \le n$. Nombre de $\epsilon = \inf\limits_{1 \le i \le n} \epsilon_i$.

Ahora supongamos que $\Vert g- f \Vert <\epsilon$. Para$t \in [0,1]$, $j \in \{1, \dots , n\}$ tal que $t \in (t_j -\delta_j,t_j+\delta_j)$.

Y, a continuación, $$\vert g(t)-f(t_j) \vert \le \vert g(t)- f(t) \vert +\vert f(t)-f(t_j)\vert \le 2\epsilon_j.$$

Por lo tanto, $g(t) \in O$ todos los $t \in [0,1]$, con lo cual termina la prueba.