La construcción de una base

Question

Sé que para un espacio vectorial $\mathbb R^n$ uno puede utilizar las bacterias Gram-Schmidt proceso para la construcción de su base. Pero ¿y si el espacio vectorial es más arbitraria en el campo? Estoy pensando en el siguiente:

1. Escoge un vector arbitrario en $V$, etiqueta como $v_1$
2. Escoger otro vector arbitrario en $V$. A partir de este deducir el componente en $v_1$. Si esto le da el vector cero, a continuación, hacerlo de nuevo con otro vector arbitrario, de lo contrario tomar esto como $v_2$ .
3. Repita el procedimiento anterior hasta que hemos encontrado $n$ vectores linealmente independientes. (Dado que el $\dim V=n < \infty$); de lo contrario, se van para siempre.

(Básicamente De Gram-Schmidt.)

Esto no parece particularmente eficaz algoritmo especialmente para grandes $n$, ¿hay alguna sugerencia mejor? También, no estoy seguro de que mis pasos son necesariamente válidas. Es el producto escalar -- que obtiene la componente de un vector arbitrario en la dirección de una $v_i$ ya en el set -- definido para espacios vectoriales sobre arbitraria campos?

Gracias.

Answer 1

Elija $x_1\neq0$ que es l.yo. entonces si $x_1$ genera V es una base y listo.

Si no es una base, es una $x_2\in V\setminus <x_1>$ $x_1,x_2$ l.yo, si $x_1,x_2$ genera tienes tu base,....

... ...

si no, seleccione un $x_{n+1}\in V\setminus <x_1,....,x_n>$ , ${x_1,...,x_{n+1}}$ son l.yo. entonces si ${x_1,...,x_{n+1}}$ generar tienes tu base.

Si la dimensión es finito el algoritm debe parar.

Con quiero decir que el subespacio generado por S.

Answer 2

Usted no necesita de Gram-Schmidt. Empezar con una generación de establecer o mantener la adición de vectores de un conjunto y el uso de eliminación Gaussiana para quitar lineal dependencias.