¿Qué nos dicen los factores primos de un número sobre el mismo?

Question

Siento que la pregunta sea tan vaga, pero no podía dejarla más clara. El otro día estaba trabajando con la solución de un problema y por curiosidad descompuse el número en sus factores primos y noté un patrón interesante. El número $216$ distribuir en $2,3,2,3,2,3$ y cuando lo agrupé, tuve tres pares de 6 que luego pude expresar como $6^3$ . ¿Qué otra información podría obtener al descomponer un número en sus factores o factores primos? ¿Qué dice esto sobre los componentes del número?

P.D Yo también estoy interesado en más lecturas y enlaces externos.

Answer 1

Cuando se conoce la factorización del primo, se puede encontrar la cantidad de divisores. Si tienes una factorización prima $n=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_k^{e_k}$ con $p_1, p_2, \cdots, p_k$ diferentes primos y $e_1, e_2, \cdots, e_k$ enteros positivos, se puede encontrar que el número de divisores positivos es igual a $(e_1+1)(e_2+1)\cdots(e_k+1)$ .

Ejemplo: $216=2^3\cdot 3^3$ , por lo que tiene $(3+1)(3+1)=16$ divisores positivos.

¿Es este un ejemplo de lo que quiere decir?

Answer 2

Para mí, es más interesante cuando un número no tiene factores primos, es decir, es un número primo. Sin embargo, ser capaz de dividir un número en sus factores primos puede ayudar a realizar cálculos mentales. Para usar tu ejemplo,

$72\times3=(9\cdot8)\cdot3=2^3\cdot3^2\cdot3=2^3\cdot3^3=6^3=216$

En lugar de multiplicar 72 y 3, dividí 72 en sus factores primos y descubrí que el resultado sería un cubo perfecto. Suponiendo que conozcas los cubos perfectos hasta $10^3$ Esto sería más rápido que llevar a cabo la multiplicación.