Hay seguro más directa enfoques. Sin embargo, yo prefiero los siguientes (similar a cómo se puede derivar de la superficie de la unidad de la esfera).
Vamos a investigar la integral de Gauss
$$I = \int_{\mathbb{R}^p}\! dx\,e^{-x^Tx}.$$
Se separaron en el $p$-coordina y así obtenemos
$$I = \left( \int_\mathbb{R}\!dx e^{-x^2}\right)^p = \pi^{p/2}.$$
En las nuevas coordenadas $r=x^T x$$U\in SO(p)$$x = r U e_1$, obtenemos
$$I = \int_0^\infty dr\int\! dU\,J(r) e^{-r^2}.$$
El factor de $J$ puede depender sólo de $r$ como la medida de Haar es invariante en el grupo (y por lo tanto es el integrando de a $I$).
Tenga en cuenta que yo soy abstenerse de llamar a $J$ un determinante Jacobiano como para eso debemos tener una transformación de $p$-coordenadas en $p$-coordenadas. Este sólo sería el caso si vamos a parametrizar $U$. En este caso, la parte de la Jacobiana es en la medida de Haar y lo $J(r)$ es la parte restante, dependiendo únicamente de la $r$.
Otra propiedad importante de $J(r)$ es que es homogénea de grado $p-1$ que puede ser demostrado por la escala de transformación de $x' = \lambda x$ en la integral original (y luego compararla con las variables transformadas). Por lo $J(r) = \alpha r^{p-1}$.
Ahora, tenemos $\int dU=1$ y por lo tanto, se requiere que
$$\alpha \int_0^\infty \!dr\,r^{p-1} e^{-r^2} = \frac{\alpha}2 \Gamma(p/2)= \pi^{p/2};$$
este establece $\alpha$.
En lugar de $r$, desea $y= 1+ (g/a) r$ como nuevas variables, lo que nos lleva a otro factor de $a/g$ a partir de la sustitución de$r$$y$. En conclusión, podemos obtener
$$\int_{\mathbb{R}^p}\!dx \,f(x) = \frac{a S_{p-1}}g \int_1^\infty\!dy\int\!dU \, r^{p-1} f(x)$$
con $$S_n = \frac{2 \pi^{(n+1)/2}}{\Gamma((n+1)/2)}$$
la superficie de la $n$-esfera.
