Deje $∑_{n=0}^∞c_n z^n $ ser una representación de la función de $\frac{1}{1-z-z^2 }$. Encontrar el coeficiente de $c_n$

Question

Deje $∑_{n=0}^∞c_n z^n $ ser una potencia de la serie representación de la función de $\frac{1}{1-z-z^2 }$. Encontrar el coeficiente de $c_n$ y el radio de convergencia de la serie.

Claramente este es un de potencia de la serie con el centro $z_0=0$, e $f(z)=\frac{1}{1-z-z^2 }$ es analítica, porque es representada por una potencia de la serie. También sé que

$$c_n =\frac{1}{n!} f^{(n)}(0)$$

pero esto no me lleve a nada, yo también trato el caso especial de la serie de Taylor, pero nada que se parezca a esto. Me pregunto si alguno quiere ayudarme por favor.

Answer 1

El uso de la factorización $1 - z - z^2 = -(z + \varphi)(z + \bar{\varphi})$ donde$\varphi = (1 + \sqrt{5})/2$$\bar{\varphi} = (1 - \sqrt{5})/2$, podemos escribir

\begin{align}\frac{1}{1 - z - z^2} &= \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1}{z + \varphi} - \frac{1}{z + \bar{\varphi}}\right) \\ & = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1/\varphi}{(z/\varphi) + 1} - \frac{1/\bar{\varphi}}{(z/\bar{\varphi}) + 1}\right)\\ & = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{-\bar{\varphi}}{1 - \bar{\varphi}z} + \frac{\varphi}{1 - \varphi z}\right)\\ & = \frac{1}{\sqrt{5}}\sum_{n = 0}^\infty [-\bar{\varphi}(\bar{\varphi} z)^n + \varphi(\varphi z)^n]\\ & = \sum_{n = 0}^\infty \left(\frac{\varphi^{n+1} - \bar{\varphi}^{n+1}}{\sqrt{5}}\right)z^n. \end{align}

Por lo $c_n = (\varphi^{n+1} - \bar{\varphi}^{n+1})/\sqrt{5}$ (que es igual a $F_{n+1}$, $(n+1)$st número Fibonacci) y el radio de convergencia es $1/\varphi$.

Answer 2

Además de la descomposición de fracciones en la escuela primaria, usted puede comenzar a partir de

$$f(z)(1-z-z^2)=1,$$

y por la identificación $$c_nz^n-c_{n-1}z^{n-1}z-c_{n-2}z^{n-2}z^2=(c_n-c_{n-1}-c_{n-2})z^n=0$$ para $n\ge2$.

Answer 3

Desarrollo en serie de Taylor de la función es $$1+z+2z^2+3z^3+5z^4+8z^5+13z^6+21z^7+....$$ los coeficientes son los números de Fibonacci $$F(n)=F(n-1)+F(n-2)$$ por lo tanto $C_n=F(n)$

Answer 4

La representan como una serie geométrica:

$$\frac{1}{1 - z - z^2} = \sum_{k=0}^{\infty} z^k(1 + z)^k$$

El $c_n$ coeficiente es efectuado por los términos de $k = \lceil n/2\rceil$$k = n$. En particular,

$$c_n = \sum_{k = \lceil n/2 \rceil}^{n} {k \choose n - k}$$

Se puede demostrar que estos coeficientes son los números de Fibonacci? (Sugerencia: La secuencia de fibonacci, son la poca profundidad de las diagonales en el triángulo de Pascal)