Son los únicos natural-número de soluciones de $a$ a de la ecuación de $5a^2 + 4 = b^2$ alternativo de los números de Fibonacci?

Question

Es decir, $a\in\{0, 1, 3, 8, 21, ...\}.$

Yo creo que son, pero ¿cómo podría esto ser probado (si es cierto)?

Answer 1

Un boceto:

Considere la ecuación cuadrática $$ x^2-ax-a^2=1.\qquad (*) $$ Sus soluciones son (a partir de la fórmula cuadrática) $$ x=\frac{a\pm\sqrt{5a^2+4}}2. $$ Podemos ver que si $\sqrt{5a^2+4}$ es un número entero, tiene la misma paridad que $a$, así que las soluciones de esta ecuación son (racional) enteros exactamente, cuando $5a^2+4=b^2$.

Si partimos de la indexación de la secuencia de Fibonacci como $F_0=0$, $F_1=1$, $F_2=1$, $F_3=2$, $F_4=3,\ldots,$ es fácil probar por inducción que las soluciones a $$ x^2-F_{2k}x-F_{2k}^2=1 $$ son exactamente $x=-F_{2k-1}$$x=F_{2k+1}$. Un truco conocido como Vieta salto va a hacer esto obvio, pero no es difícil de hacer sin nunca haber oído hablar de ella, si te digo que las raíces de $$ x^2-F_{2k+1}x-F_{2k+1}^2=-1 $$ se $x=-F_{2k}$$x=F_{2k+2}$. En otras palabras, $\sqrt{5a^2-4}$ es un número entero, siempre que $a=F_{2k+1}$ para algún número natural $k$.

Para dar contenido a una inducción (véase también el de Brian respuesta de ayer) se ocupa de la parte de que " $b$ es un número entero, si $a=F_{2k}$."

¿Qué acerca de "sólo si"? Así, usted puede utilizar la teoría de ecuaciones de Pell, información sobre las unidades de $\mathbb{Z}[(1+\sqrt5)/2]$ o lo que sea. O usted puede invertir la dirección de la por encima de la inducción. Si $x_1$ es el negativo de la solución de $(*)$, entonces no es difícil mostrar que $a+x_1<a$ obras en lugar de $a$ también. Un descenso que se produce.

Answer 2

Soluciones a las ecuaciones de Pell siempre vienen en lineal recurrente secuencias.

En este caso particular, la ecuación de Pell es $b^2 - 5a^2 = 4$ o $(b - a\sqrt 5)(b + a\sqrt 5) = 4$ o $N(b + a\sqrt 5) = 4$ donde $N$ es la norma de la $\Bbb Q(\sqrt 5)$$\Bbb Q$.

Si usted tiene un elemento de norma $1$ $u$, a continuación, $u(b + a\sqrt 5)$ tendrá la misma norma como $b + a \sqrt 5$, por lo que volverá a ser una solución a la ecuación de Pell.

El hecho de que el grupo de elementos de la norma $1$ de el anillo de los enteros de $\Bbb Q(\sqrt 5)$ es generado por $-1$ $(\frac{1+ \sqrt 5}2)^2 = \frac{3+\sqrt 5}2$ nos dice que dado un entero algebraico de la norma $4$ correspondiente a $(a,b)$, se obtienen dos nuevos algebraica de números enteros de la norma $4$, correspondiente a $(-a,-b)$ $(\frac{3a+b}2,\frac{5a+3b}2)$

Comenzando con la solución de $(0,2)$ y el uso de este, obtenemos la familia

$\begin {array}{cccccccccccc} \cdots & (-3,7) & \mapsto & (-1,3) & \mapsto & (0,2) & \mapsto & (1,3) & \mapsto & (3,7) & \mapsto & (8,18) & \cdots \\ & \updownarrow & & \updownarrow & & \updownarrow & & \updownarrow & & \updownarrow & & \updownarrow \\ \cdots & (3,-7) & \mapsto & (1,-3) & \mapsto & (0,-2) & \mapsto & (-1,-3) & \mapsto & (-3,-7) & \mapsto & (-8,-18) & \cdots \end{array}$

Desde el polinomio mínimo de a$\frac{3+\sqrt 5}2$$X^2 - 3X + 1$, también se puede comprobar que la horizontal secuencias de ambos satisfacen la recurrente lineal de la relación de asociados con los poderes de $\frac{3+\sqrt 5}2$, $u_{n+2} = 3u_{n+1} - u_n$.

Ahora, si es que también muestran los elementos de la norma $-4$ (las soluciones a $b^2-5a^2 = -4$), tenemos que multiplicar por $\frac {1+\sqrt 5}2$ (de norma $-1$) en lugar de su plaza, la transformación de ahora es $(a,b) \mapsto (\frac{a+b}2, \frac{5a+b}2)$, y así medio términos aparecen :

$\begin {array}{cccccccccccc} \cdots & (-1,3) & \mapsto & \color{red}{(1,-1)} & \mapsto & (0,2) & \mapsto & \color{red}{(1,1)} & \mapsto & (1,3) & \mapsto & \color{red}{(2,4)} & \mapsto &(3,7) & \cdots \\ & \updownarrow & & \color{red}\updownarrow & & \updownarrow & & \color{red}\updownarrow & & \updownarrow & & \color{red}\updownarrow & & \updownarrow\\ \cdots & (1,-3) & \mapsto & \color{red}{(-1,1)} & \mapsto & (0,-2) & \mapsto & \color{red}{(-1,-1)} & \mapsto & (-1,-3) & \mapsto & \color{red}{(-2,-4)} & \mapsto &(-3,-7) & \cdots \end{array}$

Tanto en horizontal secuencias de satisfacer la recurrente lineal de la relación de asociados con los poderes de $\frac{1+ \sqrt 5}2$, $u_{n+2} = u_{n+1} + u_n$

En particular, reconocemos la Fibonnaci secuencia en el primer componente de la fila superior (tiene el mismo recurrente relación lineal y comienza de la misma manera)

También resulta que no hay otras soluciones a la ecuación de $b^2-5a^2 = \pm 4$ (podemos hacer una búsqueda exhaustiva para $(a/b) \in [1/3;3/7]$ y sólo encontrar los de arriba).

Answer 3

Supongamos que hay otra solución a $b^2-5a^2=4$. Entonces se podría suponer que existe es una unidad separada $\tau$ en el pentagonal de los números de $x+y\phi$, otros de $\phi$. Desde el conjunto de pantgoanal números es cerrado para la multiplicación, y operar en el hypercomplex avión (algo así como el plano complejo, pero $j^2=1$, y uno tiene unidad de hyperbolae, en lugar de círculos de unidad).

Así que uno tiene un "módulo", que corresponde a $M^2 = (X+jY)(X-jY) = X^2-Y^2$. Los números de módulo constante caída en hyperbolae, centrada en $(0,0)$. Como eisenstein enteros $j\sqrt{-3}$, el pentagonal enteros $j\sqrt{5}$ como el segundo eje.

Cualquier otra unidad por el pentagonal de los números, debe recaer en la unidad de la hipérbola, y deben ser intercalados entre los poderes de la $\phi$. Es decir, no debería ser algunas de las $\phi \lt \phi^m \tau \lt \phi^2$. Una rápida enumeración del espacio entre el $\phi$ $\phi^2$ es necesario. Uno sólo tiene que probar la caja en particular en la región de $x+\delta x, y+\delta y$ por esto, lo que produce un escaso número de enteros, ninguno de los cuales no son ni $\pm\phi^n$ o cualquier otra unidad, por lo que llegamos a la conclusión de que $\phi$ solo gobierna esta ecuación.

Prueba los valores relevantes, uno ve que los poderes de la $\phi^n/\sqrt{5}$ dar los números de fibonacci (aproximadamente), y que las condiciones de $b^2-5a^2=4$, que se cumplen sólo por los números en los ratios de $\phi^2n/\sqrt{5}$: es decir, se alternan los números de fibonacci de la orden.