La prueba de que cada círculo tiene la relación de $\pi$

Question

Sabemos que la relación entre la circunferencia de la longitud y el diámetro es igual a $\pi$, pero esto puede ser demostrado por cada círculo? O esto es un axioma?

Answer 1

Es algo de un asunto delicado. En primer lugar, la independencia de la circunferencia de diámetro de la relación de la radio del círculo no es cierto en todas las geometrías. De hecho, es una característica de la 'plana' geometrías, o, para usar el término estándar, de geometrías Euclidiana. Es bastante fácil ver por ejemplo que esta relación no es una constante para los círculos sobre una esfera. Además, el uso de cualquiera de una serie de modelos para el plano hiperbólico, la relación en el plano hiperbólico tampoco es constante.

Luego, la noción de longitud de una curva es muy sutil, y requiere de una buena definición. El problema con la longitud es que es muy sensible a pequeños cambios, y no es continua (en el sentido de que para las curvas que convergen uniformemente a una determinada curva, las longitudes de las curvas de necesidad no convergen a la longitud de la limitación de la curva). Esto hace que la aproximación de una longitud de una curva geométrica medios sutiles y propenso a errores.

Una sólida manera de proceder es la aceptación de la definición de la longitud de la gráfica de una función derivable $f:[a,b]\to \mathbb R$ por $\int _a^b\sqrt{1+f'(x)^2}dx$. Esta definición se obtiene mediante el teorema de Pitágoras, que tiene cientos de pruebas. Ahora, la parte superior del semi-círculo de radio $r$ es la gráfica de la función $f:[-1,1]\to \mathbb R$$f(x)=r\sqrt{1-x^2}$. Tapón de que en la definición de la longitud y obtendrás $2r\pi$. Así, la circunferencia es lineal en la radio, que es por eso que al momento de la división por el diámetro, obtener siempre una constante. (Para hacer este argumento más riguroso, también se necesita demostrar que la longitud es la traducción de todos los idiomas, por lo que cualquier círculo puede ser traducido a tener su centro en el origen).

Comentario: Los antiguos griegos argumentado de manera diferente acerca de la constante de $\pi$, ya que ellos no tienen nuestra moderna definición de longitud. No estoy seguro de cómo conscientes de que eran de las sutilezas de la longitud de la noción. Podría decirse, es mejor considerar en primer lugar de la zona y no la duración. $\pi$ puede ser definida como el cociente entre el área de un círculo de radio $r$ a la plaza de la radio. La prueba de esta relación de ser independiente de la radio de los usos de las integrales de nuevo, pero para medir el área bajo la gráfica, en lugar de la longitud de la gráfica.

Answer 2

He aquí lo que Euclides tenía que decir sobre el asunto. Aparentemente, lo que equivale a una especie de argumento puede ser hecho de la siguiente manera:

Tomamos nota de que para cualquiera de los dos círculos, un cuadrado inscrito ha perímetro proporcional al diámetro del círculo. Del mismo modo, se puede mostrar (inductiva?) que una inscrito regular $2^{n}$-gon ha perímetro proporcional al diámetro del círculo.

Luego, nos puede indicar que la secuencia de las longitudes de los sucesivos inscrito regular $2^n$-ágonos de un determinado círculo se forma una secuencia progresión que bordeada por encima, ya que la duración de un polígono regular inscrito es menor que la de la el polígono circunscrito (del mismo número de lados).

Por lo tanto, existe algún límite de las longitudes de estos $2^n$-ágonos, y podemos "razonablemente" tomar esta longitud de la circunferencia de nuestro círculo. Desde cada una de las $2^n$-gon tiene una longitud proporcional al diámetro del círculo, podemos afirmar que la circunferencia del círculo también debe ser proporcional a su diámetro. Por lo tanto, la relación de la circunferencia de un círculo a su diámetro debe ser constante.

Answer 3

Se puede demostrar que la relación $\frac{\text{circumference}}{\text{diameter}}$ es el mismo para todos los círculos, no importa cuán grande o pequeña; en otras palabras, este cociente es un número constante. El símbolo $\pi$ es usado para denotar este número constante. Necesitamos un símbolo especial porque no hay ninguna otra buena forma de escribir el número, realmente, ya que es trascendental. Usted puede fácilmente escribir aproximaciones como $\tfrac{22}{7}$ o 3.14159265, pero estos son sólo aproximadamente igual a $\pi$, no exactamente $\pi$.

En resumen, entonces, $\pi$ se define para ser la relación $\frac{\text{circumference}}{\text{diameter}}$. El uso de un término, esto es un "axioma".

Supongo que su conocimiento de las matemáticas es bastante elemental, así que me di una respuesta primaria que ignora algunos de los problemas más sutiles. Por ejemplo, he asumido que estamos trabajando con el estándar de la plana la geometría Euclidiana, y que tenemos una viable idea intuitiva de lo que "longitud" significa.