Matriz de relación con la matriz invertible

Question

Deje $A,B$ dos $m\times n$ matrices, y $$A=BU,\ B=AV$$ for some $n\times n$ matrices $U,V$ . Prove that there exists some invertible $n\times n$ matrix $T$ such that $B=A$.

Realmente me lo impide. Tengo sabía que las columnas de a $A,B$ son equivalentes, sin embargo, no he podido encontrar el adecuado invertible la matriz de $T$.

Answer 1

Como ya se observó, las columnas de a $A$ abarcan el mismo espacio que los de $B$; vamos a denotar la dimensión de este espacio por $k$ ($\le m,n$). Desde $A$ mapas de $\mathbb R^n\to\mathbb R^m$,$n=k+\dim N(A)$.

El producto $AV$ rango $k$, lo $V$ tiene columnas que abarcan al menos la $k$ espacio tridimensional en $\mathbb R^n/N(A)$. Por otra parte, somos libres para agregar arbitraria vectores de $N(A)$ a cualquiera (o todas) de las columnas de a $V$; el producto $AV$ no serán afectados. Desde que comenzamos con al menos dimensión $k$ modulo $N(A)$ y puede introducir los $\dim N(A)=n-k$ adicional de vectores linealmente independientes de ese espacio, podemos obtener la dimensión de la columna, el espacio de todo el camino a $k+n-k=n$.