Podemos decir $f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ es creciente si $f(x_1)\le f(x_2)$ siempre $x_1<x_2$. Si $f,g:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ están aumentando y no negativo, muestran que la función $h(x,y)=f(x)g(y)$ es integrable sobre $[0,1]^2$.
Estoy usando el Darboux definición de integración, por lo que quiero demostrar que para cualquier $\epsilon>0$, existe una partición de $P$ $Q$ tal que $U(f,P)-L(f,P)<\epsilon$. Equivalentemente, existe una partición de $P$ $Q$ tal que $$\left|\sum_Rv(R)(M_R(f)-m_R(f))\right|<\epsilon,$$ where $M_R(f)$ is the supremum of the values of $f$ inside the rectangle $R$, and $m_R(f)$ is the corresponding value for infimum. (Here, $R$ ranges over all subrectangles formed by the partition $P$.)
Hacia ese fin, traté de tomar la partición de $P$$[0,\dfrac1n,\dfrac2n,\ldots,1]\times[0,\dfrac1n,\dfrac2n,\ldots,1]$. Ya que la función $h(x,y)$ es el aumento en el $x$$y$, el máximo de cualquier cuadrado es alcanzado en la esquina superior derecha, y la mínima en la esquina inferior izquierda. Por lo tanto, $\left|\sum_Rv(R)(M_R(f)-m_R(f))\right|$ es igual a $$\dfrac{1}{n^2}\left(\sum_{i=1}^{n}f(\dfrac in)g(1)+\sum_{i=1}^{n-1}f(1)g(\dfrac in)-\sum_{i=0}^{n-1}f(\dfrac in)g(0)-\sum_{i=1}^{n-1}f(0)g(\dfrac in)\right)$$
No estoy seguro de si esta es la partición correcta a tomar. ¿Esta suma enfoque de $0$$n\rightarrow\infty$?
