Ecuación de escritura para la amplitud del oscilador armónico conducido en forma lorentziana

Question

Este oscilador armónico es impulsado y amortiguado, con el formulario:

$$\ddot{x} + \lambda \dot{x} + \omega_0^2 x = A \cos(\omega_d t)$$

Ahora, he utilizado el ansatz (supongo): $x(t) = B \cos(\omega_d t + \phi)$, y han escrito B en la forma:

$$B = \frac{A} {\sqrt{(\omega_o^2-\omega_d^2)^2+\lambda\omega_d^2}}$$

Siguiente, tengo la obligación de "aproximado de B, utilizando la forma de Lorenz"

$$B = \frac{C}{(\omega_d - \Omega)^2+\biggl(\frac{\Gamma}{2}\biggr)^2}$$

Sin embargo, aquí es donde estoy atascado. Yo lo sé porque dice "aproximado" yo de alguna manera va a tener que abandonar los términos de mi primera expresión para B, pero no sé por dónde empezar. ¿Cómo puedo escribir B en esta forma?

EDIT: he encontrado un artículo de la wikipedia en resonancia, que muestran una forma muy similar a lo que busco, sin embargo, me parece que no puede encontrar una derivación http://en.wikipedia.org/wiki/Resonance

Answer 1

Ya que el máximo es el punto más importante de la curva, sugiero que la coincidencia de los derivados 0-2 de las dos curvas en $\omega_0$. Esto es equivalente a hacer un Taylor/la expansión de la energía en ambas funciones, y la coincidencia de los tres primeros coeficientes. Puesto que hay tres constantes, podemos coincidir tres criterios (=ecuaciones).

Primera derivada: set $\Omega=\omega_0$, y por la diferenciación de ambas curvas se puede demostrar que la derivada primera de ambas curvas en $\omega_0$ es cero.

Cero derivados: Mediante la configuración de las dos curvas iguales y resolviendo $C$, se encuentra que las $C=\frac{A (\frac{\Gamma}{2})^2}{\sqrt{\lambda}\omega_d}$.

Segunda derivada: aún no Hemos configurado $\Gamma$. La necesaria ecuación viene de la configuración de la segunda derivada en $\omega_0$ igual. Esto le da a $\frac{\Gamma}{2}=\sqrt{\frac{\lambda}{2}}$.

La trama (todos los parámetros en el original de la curva de resonancia son 2; el azul es original, el rojo es de Lorenz) se ve muy bien para mí: