Dependencia de la temperatura del tiempo de relajación en la ecuación de Boltzmann para la dispersión de impurezas en metales

Question

¿Existe alguna dependencia de la temperatura del tiempo de relajación en la dispersión de impurezas de los electrones conductores?

Me parece que no hay ninguno. Pero, algunas personas afirman que hay. Entonces, si pudiera explicar, ¿cómo entra en juego la dependencia de la temperatura, si es que lo hace?

Answer 1

Es allí cualquier dependencia de la temperatura de un tiempo de relajación en la impureza la dispersión de la realización de los electrones?

Ya que en el post original, una referencia precisa (Ziman del libro) está ausente, supongo que los que hace referencia el material es

Ziman, J. M. "Principios de la Teoría de los Sólidos" (1999), pág. 215,

y la pregunta es en relación al "tiempo de relajación aproximación" en Boltzmann semi-clásico enfoque para el transporte en sistemas electrónicos en presencia de estática impurezas.

En el Boltzman enfoque, el cambio en la ocupación número de impulso estados $| \mathbf{k} \rangle$ debido a las colisiones se obtiene mediante la regla de oro de Fermi , que produce una ecuación integral, $$ \left( \frac{\partial}{\partial t} n_{\mathbf{k}} \right)_{colisiones} = - \frac{n_{imp}}{V} \sum_{\mathbf{k}'} [ n_{\mathbf{k}} (1 - n_{\mathbf{k}'}) W_{\mathbf{k}', \mathbf{k}} - n_{\mathbf{k}'} (1 - n_{\mathbf{k}}) W_{\mathbf{k}, \mathbf{k}'} ] ~, $$ donde $\frac{n_{imp}}{V}$ es la densidad de impurezas, $n_{\mathbf{k}}$ denota la probabilidad de ocupación del estado $\mathbf{k}$ (no necesariamente el equilibrio de Fermi-Dirac distribución), y $W_{\mathbf{k}, \mathbf{k}'}$ es la tasa de transición de estado$\mathbf{k}$$\mathbf{k}'$. El primer término de la suma representa la tasa de dispersión de estado $\mathbf{k}$ y el segundo término, representa la tasa de dispersión en el estado $\mathbf{k}$.

A menudo, se utiliza una aproximación más simple para el choque plazo, el "tiempo de relajación aproximación", en el que $$ \left( \frac{\partial}{\partial t} n_{\mathbf{k}} \right)_{colisiones} \aprox - \frac{n_{\mathbf{k}} - n_{\mathbf{k}}^{eq}}{\tau} $$ donde $n_{\mathbf{k}}^{eq}$ es el equilibrio de la función de distribución, y $\tau$ es el "tiempo de relajación". Esta escala de tiempo es aproximadamente igual a la vida útil de los electrones debido a la impureza de dispersión [1]. El $\frac{1}{\tau}$ factor es esencialmente una aproximación a la tasa de transición a $W$, a través de los cuales solo dispersión (no hay cambio en el momentum) se mantiene.

Observe que la regla de oro de Fermi sólo es válida en cero de temperatura. Así que, estrictamente hablando, el resultado anterior es válido sólo para el cero de temperatura. Además, Boltzmann ecuación de transporte describe un no-equilibrio de la situación en la que la temperatura está maldefinido. Así, uno llega a la conclusión de que, en sentido estricto, el tiempo de relajación no depende de la temperatura. Está relacionado con la tierra-estado (por lo tanto, cero de temperatura) propiedades del sistema electrónico y de las impurezas.

Sin embargo^*, es posible extender la Boltzmann semi-clásica de las ecuaciones de incluir los efectos cuánticos; por esto, se utiliza un cuántica de muchos cuerpos en la teoría y obtiene el quantum ecuaciones de Boltzmann para un no-equilibrio de configuración en presencia de un campo externo (por ejemplo, un campo electromagnético). Entonces, la dependencia de la temperatura en los parámetros que aparecen en la ecuación de Boltzmann (como el tiempo de relajación) aparece debido a que el estado de equilibrio inicial – es decir, el estado del sistema antes de aplicar el campo externo. En el caso actual (donde $\tau$ está directamente relacionada con la duración de la conducción de los electrones), uno llega a la conclusión de que el microscópico de la teoría de Fermi líquidos que $\tau \sim T^2$ a bajas temperaturas; por lo tanto, $\tau$ tendría sólo una débil dependencia de la temperatura.

Para más detalles, se puede consultar, por ejemplo, Pisón, J. "Cuántica de la Teoría de Transporte", (2004), la cogeneración. 10.8.

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^{[1] Esta parte se basa en Bruus, H. y K. Flensberg. "Muchos cuerpos de la teoría cuántica en física de la materia condensada" (2004), la sección 15.3.
$^\ast$ Esta nota es añadido gracias a un comentario por garyp.}

Answer 2

Ok, entonces, ya que nadie está respondiendo, déjame intentarlo. Si descuidamos todo, excepto los electrones, podemos escribir para la conductividad una integral con el derivado de la función fermi dirac debajo de ella. Entonces, ahí está. Esta derivación es un delta f en T = 0, pero se vuelve más borrosa a medida que aumenta la temperatura. Así que en ese cambio reside la dependencia, supongo. Pero, ¿por qué entonces Ziman en su libro sobre el transporte dice que no hay dependencia de la temperatura de dispersión de impurezas?