¿Por qué la probabilidad de tener 2 niños es 7/15?

Question

Una pareja planea tener 2 hijos. Dado que al menos uno de ellos es un niño, la probabilidad de que ambos son varones es

$$ \frac{P (~chicos)}{P(a~menos~~~~boy)} = \frac{0.25}{0.75} =\frac{1}{3} $$

Además, un libro de texto que estoy leyendo afirma que la probabilidad de que los dos niños varones, dado que al menos uno es un niño que nació en la primavera es $\frac{7}{15}$. No explica su solución.

Por qué? Lo que hace que la temporada tiene nada que ver con el hecho de que tanto los niños están chicos?

Answer 1

La especificación de uno de los niños nació en la primavera, aumenta la probabilidad de que el segundo hijo es un niño, porque los padres de familia con dos niños son más propensos a tener uno que nació en la primavera de padres con sólo uno. Que son, básicamente, el cálculo de:

$$ \frac{P_A}{P_B}=\frac{\frac{1}{4}(P_D+P_E)}{1-P_C}=\frac{\frac{1}{4}(\frac{6}{16}+\frac{1}{16})}{1-(\frac{7}{8})^2}=\frac{7}{15} $$ Con $P_A$ la probabilidad de tener dos hijos, al menos uno de los cuales nació en la primavera; $P_B$ de los que tienen al menos un niño nacido en la primavera; $P_C$ de no tener niños nacidos en primavera; $P_D$ de exactamente uno de cada dos niños que nacen en primavera; y $P_E$ de dos de cada dos niños que nacen en la primavera.

Answer 2

Si la probabilidad de que un niño es un niño es $\frac 12$ y la probabilidad de que nace en la primavera del es $\frac 14$, la probabilidad de que se es un niño que nació en la primavera es $\frac 18$. La probabilidad de que al menos uno de los dos hijos es un niño que nació en la primavera es, por tanto,$1 - (1 - \frac 18)^2$ = $\frac{15}{64}$.

La probabilidad de que los dos niños son los niños nacidos en la primavera de es $(\frac 18)^2 = \frac{1}{64}$. La probabilidad de que un niño es un niño que nació en la primavera y el otro es un chico nacido en una de las otras tres estaciones es $\frac{15-1}{64}$ x $ \frac37$ = $\frac{6}{64}$ (multiplicando por $\frac37$ en lugar de $\frac48$ porque $\frac{15-1}{64}$ excluye el caso en el que el otro niño también es un niño que nació en la primavera). Esto hace un total de probabilidad conjunta de dos niños y al menos un niño nacido en la primavera de de $\frac{7}{64}$.

El deseado de probabilidad condicional es, por tanto,$\frac{7}{64}$ / $\frac{15}{64}$ = $\frac{7}{15}$.

Answer 3

Una forma sencilla es hacer un seguimiento del niño mayor.

Si el niño mayor es un niño nacido en primavera, el menor podría ser un niño o una niña nacidos en cualquier época del año (8 casos)

Si el niño mayor no es un niño nacido en primavera, el menor lo es. El niño mayor podría ser una niña nacida en cualquier época del año o un niño nacido en no primavera (7 casos)

Indicado Pr = 7/15

Answer 4

Una pareja planea tener 2 hijos. A juzgar por las probabilidades de 0.25 de los niños y 0.75 de al menos 1 niño, con seguridad puedo decir que P(niño) = 0.5 y P(chica)=0.5.

Supongo que se preguntan cómo es la probabilidad de que ambos chicos dado que por lo menos 1 niño nace en la primavera de = $\frac{7}{15}$

Ahora, dado que la palabra "primavera" de alguna manera es introducido, permite suponer que es posible que un niño nazca en cualquiera de las 4 estaciones del año, con igual probabilidad.

Permite ahora tener una mirada en el espacio muestral:

Un = Todos los eventos en Conjunto(Tanto Chicos | Uno nace en la Primavera) = 2*(Niños en Otoño, Invierno, Verano) + (Ambos muchachos en la Primavera)

B = Todos los eventos en Conjunto (Un Niño que nació en la Primavera) = 2*(Niños en Otoño, Invierno, Verano) + (Ambos muchachos en Primavera) + 2*(Chica en Otoño, Invierno, Verano, Primavera)

Por lo tanto, la Probabilidad de que (Tanto Chicos|Un niño nace en primavera) = $\frac{P(A)}{P(B)}$

No asumimos ninguna oportunidad de gemelos.

Espero que resuelve la pregunta.