Consultas sobre grupos rotacionales$\mathrm{SO}(3)$ y$\mathrm{SU}(2)$ en QM

Question

En un QM texto que estoy usando (Sakurai 2ª edición Moderna de la Mecánica Cuántica'), describe dos grupos de rotación, es decir, el $\mathrm{SO}(3)$ rotación de grupo y $\mathrm{SU}(2)$ rotación de grupo (unitario unimodular grupo).

Él define a $\mathrm{SO}(3)$ como un grupo con la multiplicación de la matriz en un conjunto ortogonal de matrices (que son las matrices que satisfacen $R^TR = 1 = RR^T$), luego afirma que este grupo sólo incluye la rotación de los operadores (y no también a la inversa de los operadores, que sería el grupo $\mathrm{O}(3)$). Él nunca rigurosamente definir "rotación de operación".

1. Cómo habría que distinguir entre la rotación de los operadores y a la inversa los operadores, sería suficiente definición, que rotacional los operadores es una transformación con un punto fijo?

También define el grupo $\mathrm{SU}(2)$ que consiste unitario unimodular matrices, y los estados que la mayoría de la general y unitaria de la matriz en dos dimensiones tiene cuatro parámetros independientes y se define como $$U = e^{i \gamma} \left( {\begin{array}{cc} a & b \\ -b^* & a^* \\ \end{array} } \right) $$ donde $|a|^2 + |b|^2 = 1,~~~\gamma^* = \gamma.$

2. Yo estoy en lo correcto al asumir que el $\mathrm{SO}(3)$ rotación de grupo ¿ no tienen mucha aplicación en la mecánica cuántica, pero se utiliza más bien más en la mecánica clásica, mientras que $\mathrm{SU}(2)$ se usa más en la mecánica cuántica, en particular para $s =\frac{1}{2}$ spin sistemas cuando trabajamos en una de dos dimensiones, el espacio de Hilbert?
3. ¿Cómo se sigue que hay cuatro parámetros independientes para la general unitaria de la matriz, a mi modo de ver hay tres independiente parámetros, a saber:, $a$, $b$ y $\gamma$?

Answer 1

Al clasificar representaciones de un grupo en QM, es necesario permitir representaciones proyectivas , porque los estados son en realidad rayos (clases de equivalencia) en el espacio de Hilbert. Esto significa que para estudiar la simetría rotacional de un sistema, se desean las representaciones proyectivas de$\mathrm{SO}(3)$, que son representaciones estándar de$\mathrm{SU}(2)$, porque esta última es la cobertura universal de la primera. Esta es la razón por la que$\mathrm{SU}(2)$ es importante en QM.

Answer 2

La ya presente las respuestas han cubierto la diferencia entre el $\mathrm{O}(3)$ $\mathrm{SO}(3)$ en longitud, por lo que no voy a repetir eso. Permítanme, en lugar de explicar el punto sobre el "uso" de $\mathrm{SO}(3)$ frente al "uso" de $\mathrm{SU}(2)$, que creo que aún no ha sido aclarado:

1. $\mathrm{SU}(2)$ es una doble cubierta de $\mathrm{SO}(3)$, lo que significa que hay un dos-a-uno o en grupo homomorphism $\mathrm{SU}(2)\overset{2:1}{\to}\mathrm{SO}(3)$ o, de manera equivalente, $\mathrm{SO}(3)\cong\mathrm{SU}(2)/\mathbb{Z}_2$. También es simplemente conexa, es decir, la universalización de la cobertura. La Mentira de álgebras de ambos Mentira grupos son los mismos, es decir,$\mathfrak{so}(3)\cong\mathfrak{su}(2)$. Una representación de una Mentira álgebra siempre induce una representación lineal de los conecta simplemente a Mentir grupo asociado a ella, pero no siempre inducir una representación de los otros grupos. Más específicamente, el spin-1/2 representación es una representación lineal de $\mathfrak{so}(3)$, pero no de $\mathrm{SO}(3)$, sólo de $\mathrm{SU}(2)$.

2. El spin-1/2 representación, es, sin embargo, un llamado de la representación proyectiva de $\mathrm{SO}(3)$. La mecánica cuántica en realidad no requiere ordinaria lineal de representaciones de grupos de simetría, pero proyectiva. Por la razón general este es el caso, ver este Q&A de la mina. En este caso, resulta que las representaciones de $\mathrm{SO}(3)$ son equivalentes a los lineales de las representaciones de $\mathfrak{so}(3)$, o lo que es equivalente lineal representaciones de $\mathrm{SU}(2)$. Esta es la razón por la $\mathrm{SU}(2)$ aparece en la mecánica cuántica, pero no en la mecánica clásica, a la hora de representar el grupo de simetría de las rotaciones en el espacio de estados.

3. El spin-1/2 representación está dada por el "estándar" de la representación de $\mathrm{SU}(2)$, es decir, sólo por el 2-por-2 especial unitaria de las matrices. Pero es todavía también una representación de $\mathfrak{so}(3)\cong\mathfrak{su}(2)$ y una representación proyectiva de $\mathrm{SO}(3)$. El spin-1 representación está dada por el "estándar" de la representación de $\mathrm{SO}(3)$ 3-por-3 especial ortogonal de matrices, pero todavía es también una representación de $\mathfrak{su}(2)\cong\mathfrak{so}(3)$ y una representación de $\mathrm{SU}(2)$ a través de la 2-a-1 mapa.

Answer 3

cómo habría que distinguir entre la rotación de los operadores y a la inversa los operadores, sería suficiente definición, que la rotación de los operadores es una transformación con un punto fijo?

Uno puede definir una rotación como una operación que asigna un vector arbitrario $\vec v$ $\vec v'$a través de una secuencia infinita de infinitesimales operaciones que deja la longitud del vector invariante.

Para ejemplificar, consideremos las rotaciones en el plano. A partir de la figura de abajo vemos que la única infinitesimal operación que podemos hacer en $\vec v$ que deja su longitud es invariante $$x\rightarrow x'=x-\epsilon y,\quad y\rightarrow y'=y+\epsilon x.$$ Tal infinitesimal de la operación puede ser escrito como $$\vec v'=(I+\epsilon T)\vec v,$$ donde $I$ es la matriz identidad y $$T=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}.$$ Ahora infinitamente muchas operaciones en una secuencia tal que $n\epsilon=\theta$ donde $n$ en un número entero que va hasta el infinito y $\theta$ es finita real, $$\vec v'=\left(I+\frac{\theta}{n} T\right)^n\vec v=\exp(\theta T)\vec v .$$ El último signo de igualdad es una identidad. La ecuación anterior define la rotación por un ángulo $\theta$, $R(\theta)=\exp(\theta T)$. Uno puede calcular este exponencial por la expansión de Taylor y obtenemos $$R(\theta)=\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}.$$

Decimos que una matriz $M$ representa una rotación si y sólo si puede ser escrita en la forma anterior. Tenga en cuenta que una matriz como $$S(y)=\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix},$$ que simplemente se asigna a $(x,y)$ $(-x,y)$no es una rotación. Es un llamado a la reflexión (lo que se extraña de llamar a la inversa del operador).

Usted puede comprobar fácilmente que las rotaciones de las matrices son ortogonales (O), $RR^T=I$, y especial (S), $\det R=1$. Ellos forman el grupo de $SO(2)$ (o $SO(3)$ en tres dimensiones). Reflexión matrices tienen determinante $-1$, pero también son ortogonales. Junto con la rotación de las matrices de la forma que el grupo $O(2)$ (o $O(3)$ en tres dimensiones).

Yo estoy en lo correcto al asumir que el $\mathrm{SO}(3)$ rotación de grupo no tienen mucha aplicación en la mecánica cuántica, sino que se utiliza más en la mecánica clásica, mientras que $\mathrm{SU}(2)$ se usa más en la mecánica cuántica, en particular para $s =\frac{1}{2}$ spin sistemas cuando trabajamos en una de dos dimensiones, el espacio de Hilbert?

En tres dimensiones de las rotaciones infinitesimales son generadas por tres generadores, $T_1,T_2,T_3$ que jugar el papel de $T$ por encima. Satisfacen las relaciones de conmutación $$[T_a,T_b]=i\epsilon_{abc}T_c,$$ y forma una Mentira álgebra es decir $\mathfrak{su}(2)$. El punto es que ambos grupos $SO(3)$ $SU(3)$ tienen la misma Mentira de álgebra. El infinitesimal de las operaciones de la misma. Además, en general se puede representar estos generadores con matrices cuadradas de tamaño diferente. Una vez que elegimos el tamaño de estas matrices (la elección no es arbitraria), se obtiene el grupo asociado a la Mentira de álgebra. Por ejemplo, si empezamos con el álgebra $\mathfrak{su}(2)$ y representa por $2\times 2$ matrices, a continuación, el grupo obtuvo es $SU(2)$. Por otro lado, si representamos por $3\times 3$ matrices obtenemos el grupo $SO(3)$. Este último grupo es realmente importante en la mecánica cuántica. Se refiere a la vuelta a $1$.

¿cómo se sigue que hay cuatro parámetros independientes para la general unitaria de la matriz, a mi modo de ver hay tres independiente parámetros, a saber:, $a$, $b$ y $\gamma$?

Como ya se ha mencionado por jc315 el comentario de los seis parámetro real está sujeto a dos restricciones que deja cuatro reales parámetro independiente.

Answer 4

$\mathrm{SO}(3)$ es el grupo de todas las $3 \times 3$ real matrices con determinante $1$. Esta es la definición de una correcta rotación. $\mathrm{SO}(3)$ es un grupo en el formal sentido matemático, por lo que

$$\forall M \in \mathrm{SO}(3)\ \exists M^{-1} \in \mathrm{SO}(3) : MM^{-1} = I.$$

El $\mathrm{O}$ $\mathrm{SO}(3)$ "significa " ortogonal", lo que significa que

$$M^{-1} = M^{T} \iff \mathrm{det}(M) = \pm1,$$

y el $\mathrm{S}$ estándar para 'especial', que los límites de este positivos determinantes solamente. No sé de dónde sacó la idea de que los inversos sólo existen en $\mathrm{O}(3)$ (todos los ortogonal de matrices con positivo o negativo determinante), pero no es cierto. Los elementos de $\mathrm{O}(3)$ no $\mathrm{SO}(3)$ (es decir, los elementos de $\mathrm{O}(3) \backslash \mathrm{SO}(3)$) son las matrices con estrictamente negativo determinante, y estos son llamados rotaciones impropias. Que invertir los ejes de coordenadas, así como la rotación, que puede ser donde la confusión surgió. (Para ser claros: la rotación $\iff\mathrm{det}(M) = 1$, mal rotación $\iff\mathrm{det}(M) = -1$.)

$\mathrm{SU}(2)$ es el grupo de todas las $2 \times 2$ complejas matrices con determinante $1$. El $\mathrm{U}$ representa unitaria, que es el complejo de la versión de ortogonal:

$$U^{-1} = U^{\dagger} \iff \mathrm{det}(U) = \pm1,$$

donde la daga es la Hermitian conjugado, pero todo lo demás es el mismo (además de las entradas de ser complejo). Hay cuatro reales gratis parámetros, porque hay seis (no libre) real de los parámetros y las dos condiciones, $6-2=4$. En concreto, estas son las complejas fases de $a$ $b$ (dos números reales), la magnitud relativa de $a$$b$, y el valor de $\gamma$, que es una libre solo parámetro real (o dos reales y una condición compleja, asegurándose de que es real).

Lo importante de estos dos grupos es que $\mathrm{SU}(2)$ es una doble cubierta de $\mathrm{SO}(3)$. Esta es la razón por la que usted necesita cuatro parámetros para especificar una rotación en el espacio 3D, en lugar de tres. La esfera de Bloch en la mecánica cuántica es una manifestación de esta relación. La doble cubierta es la razón por la que el ángulo se reduce a la mitad cuando se va a la de Bloch representación de un qubit.

Answer 5

En primer lugar, la S significa "especial", lo que significa que las matrices tienen determinante=1. Ortogonal de matrices de satisfacciones $O^T O=I$ con determinante -1 son las rotaciones combinado con la paridad de las transformaciones de reflexión en un espejo. Para rotaciones $O^T$ es, por supuesto, la matriz inversa de a $O$; pero la paridad transformaciones son a veces llamado "inversión".

Ambos grupos se utilizan en la mecánica cuántica para describir las propiedades de la rotación de los diferentes sistemas físicos, en función de su momento angular. $SU(2)$ describe spin-1/2 partículas de fermiones, tales como el electrón. $SO(3)$ describe spin-1 sistemas, tales como el p-orbital de un átomo de hidrógeno o la polarización de una enorme bosón vectorial.