Integral de la $ \dfrac { \int_0^{\pi/2} (\sin x)^{\sqrt 2 + 1} dx} { \int_0^{\pi/2} (\sin x)^{\sqrt 2 - 1} dx} $

Question

Tengo este difícil integral para resolver.

$$ \dfrac { \int_0^{\pi/2} (\sin x)^{\sqrt 2 + 1} dx} { \int_0^{\pi/2} (\sin x)^{\sqrt 2 - 1} dx} $$

Ahora mi enfoque es este: split $(\sin x)^{\sqrt 2 + 1}$$(\sin x)^{\sqrt 2 - 1}$$(\sin x)^{\sqrt 2}.(\sin x)$$(\sin x)^{\sqrt 2 - 2}.(\sin x)$, respectivamente, y, a continuación, aplicar partes. Pero que no parecen conducir a ninguna parte. Consejos por favor!

Editar:

Esto es lo que yo hice (mostrando sólo para el numerador)

$$ \int_0^{\pi/2} (\sin x)^{\sqrt 2 + 1} dx $$ $$ = \int_0^{\pi/2} (\sin x)^{\sqrt 2}.(\sin x) dx $$ $$ = (-\cos x)(\sin x)^{\sqrt 2}\Bigg|_0^{\pi/2} + \int_0^{\pi/2}(\sin x)^{ \sqrt 2 - 1 }(\cos^2 x) dx $$

(teniendo en $ v = \sin x $ $ u = (\sin x)^{\sqrt 2} $ $ \int uv $ fórmula)

$$ = \int_0^{\pi/2}\left( (\sin x)^{ \sqrt 2 - 1 } - (\sin x)^{ \sqrt 2 + 1 } \right) dx $$

De manera similar para el denominador. Esto da una fórmula de reducción, pero entonces no veo cómo realmente se usan para encontrar la respuesta.

Answer 1

Vamos a la parte superior de la integral se $I$, y el de abajo,$J$. Para hacer escribiendo más simple, vamos a $a=\sqrt{2}$.

Integra la parte superior de uno por partes, dejando $du=\sin x$$v=\sin^{a} x$. Esta es la manera estándar para obtener una fórmula de reducción de $\int \sin^n x\,dx$.

Por lo $dv=a\cos x\sin^{a-1}x\,dx$ y podemos tomar $u=-\cos x$. Entonces $$I=\left. -\cos x \sin^{a}x\right|_0^{\pi/2}+\int_0^{\pi/2}a\cos^2 x\sin^{a-1} x\,dx.$$ La primera parte muere en ambos extremos. Reescribir $\cos^2 x$$1-\sin^2 x$. Entonces $$I=aJ -aI.$$ Ahora podemos conseguir $$I=\frac{a}{a+1}J$$ y eso es todo.

Answer 2

Sugerencia: $$\int_0^{\pi/2}\sin^{2p-1}x\,\cos^{2q-1} x\,dx=\frac{1}{2}B(p,q)=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{2\Gamma(p+q)}.$$ Usando esta fórmula, obtenemos $$\frac{\int_0^{\pi/2}\sin^{\sqrt{2}+1}x\,dx}{\int_0^{\pi/2}\sin^{\sqrt{2}-1}x\,dx}=\frac{B(1+\frac{\sqrt{2}}{2},\frac12)}{B(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac12)}=\frac{\Gamma(1+\frac{\sqrt{2}}{2})\Gamma(\frac{1+\sqrt{2}}{2})}{\Gamma(\frac{\sqrt{2}}{2})\Gamma(\frac{3+\sqrt{2}}{2})}=\frac{\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}=2-\sqrt{2}.$$

Answer 3

Al igual que lo @O. L señaló, usted puede usar la función Beta para expresar la solución. De hecho, usted puede cambiar las variables para obtener \begin{eqnarray*} &&\frac{\int_0^{\pi/2}\sin^{\sqrt{2}+1}xdx}{\int_0^{\pi/2}\sin^{\sqrt{2}-1}xdx}=\frac{\int_0^{1}u^{\sqrt{2}+1}(1-u^2)^{-1/2}du}{\int_0^{1}u^{\sqrt{2}-1}(1-u^2)^{-1/2}du}\\ &=&\frac{\int_0^{1}t^{\frac{1}{2}(\sqrt{2}+1)}(1-t)^{-1/2}\frac{1}{2t^{1/2}}dt}{\int_0^{1}t^{\frac{1}{2}(\sqrt{2}-1)}(1-t)^{-1/2}\frac{1}{2t^{1/2}}dt}=\frac{\int_0^{1}t^{\frac{1}{2}\sqrt{2}}(1-t)^{-1/2}dt}{\int_0^{1}t^{\frac{1}{2}(\sqrt{2}-2)}(1-t)^{-1/2}dt}\\ &=&\frac{B(\frac{\sqrt{2}+2}{2},\frac{1}{2})}{B(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2})}=\frac{\Gamma(\frac{\sqrt{2}+2}{2})\Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{\sqrt{2}+3}{2})}\frac{\Gamma(\frac{\sqrt{2}+1}{2})}{\Gamma(\frac{\sqrt{2}}{2})\Gamma(\frac{1}{2})}=\frac{\Gamma(\frac{\sqrt{2}+2}{2})\Gamma(\frac{\sqrt{2}+1}{2})}{\Gamma(\frac{\sqrt{2}+3}{2})\Gamma(\frac{\sqrt{2}}{2})}\\ &=&\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}=2-\sqrt{2}. \end{eqnarray*}