Pregunta sobre la minimización de la distancia mínima de un punto a un conjunto no compacto

Question

Que el no compacto $\;E\subset \mathcal X\;$ donde $\;(\mathcal X,d_0)\;$ es un espacio métrico y denota la distancia de un punto $\;x\in \mathcal X\;$ de $\;E\;$ como:

$\;d(x,E)=\inf_{y\in E\;}\{d_0(x,y)\}\;$ .

Tras investigar un poco en Internet, descubrí que en general si quisiera mostrar que $\;\inf_{y\in E\;}\{d_0(x,y)\}=d_0(x,y^*)\;$ para algunos $\;y^* \in E\;$ Entonces todo lo que tengo que hacer es tomar una secuencia $\;y_n \in E\;$ tal que $\;d(x,y_n) \to \inf_{\;y\in E\;}\{d_0(x,y)\}\;$ y encontrar una subsecuencia $\;y_{n_k}\;$ de $\;y_n\;$ con $\;y_{n_k} \to y^*\in E\;$ .

¿Por qué es suficiente lo anterior? ¿Está relacionado con la compacidad secuencial de $\;E\;$ ? Pero si es así, ¿cómo es posible ya que $\;E\;$ no es compacto? ¿Me he perdido algún paso en el proceso de minimización de la distancia infima?

Agradecería mucho que alguien me ayudara a entender cómo funcionan este tipo de ejercicios y me proporcionara (si es posible) algunos teoremas de análisis que pueda echar en falta.

Gracias de antemano.

Answer 1

El enfoque general al que se refiere se aplica a la búsqueda de una solución $y^* \in E$ para cualquier conjunto $E$ y $x \in \mathcal X$ del problema:

$\qquad d_0(x,y^*) = \inf_{y \in E}d_0(x,y)$

Este enfoque se basa únicamente en el hecho de que $d_0: \mathcal X^2 \to \Bbb R_{\ge 0}$ es una función continua. Como $y_{n_k} \to y^*$ se deduce que $d(x,y_{n_k})\to d(x,y^*)$ .

Qué hace no hacer es establecer tot $y^*$ existe realmente (incluso en $\mathcal X$ ), o forma parte de $E$ .

Para la primera, necesitamos el espacio métrico $\mathcal X$ para ser completa (Las secuencias de Cauchy convergen en $\mathcal X$ ). Para la segunda, generalmente sólo podemos establecer $y^* \in E$ si $E$ es un conjunto cerrado.

Al no darse estas dos condiciones, no podemos asegurar que este proceso de búsqueda $y^*$ conseguirá encontrar un elemento de $E$ con la propiedad deseada.

Answer 2

Establecer $A_x\overset{_{\mathrm{def}}}{=}\{ \mathrm{d}(x,y) : y\in E\}$ . Por definición infima, tenemos que para todo $\epsilon>0$ hay un $y_\epsilon\in E$ tal que $$ \inf A_x\leq d(x,y_\epsilon)<\inf A_x+\epsilon $$
Entonces, para todos los $\epsilon_n=\frac{1}{n}$ hay un $y_n\in E$ tal que $$ \inf A_x\leq d(x,y_n)<\inf A_x+\frac{1}{n} $$ La cuestión aquí es que si la secuencia $\{y_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ es convergente (o tiene una subsecuencia convergente ) para un punto $y^\ast\in E$ tenemos $\inf A_x= d(x,y^\ast)$ .

Ahora sus preguntas:

¿Por qué es suficiente lo anterior? ¿Está relacionado con la compacidad secuencial de E?

El secuencial compacidad de $E$ es suficiente.

Pero si lo hace, ¿cómo es posible ya que EE no es compacto?

Siempre será necesaria alguna noción primitiva de compacidad secuencial como condición suficiente. Por ejemplo, subespacio relativamente compacto es suculento.

¿Me he perdido algún paso en el proceso de minimización de la distancia infima?

Teniendo alguna noción de compacidad, no hay pérdida en el proceso constructivo de la secuencia.