$\mathbb {Z}/\mathbb{Z}$ isomorfo a $\mathbb{Z}$ ?

Question

En mis apuntes de clase, dice (hablando de secuencias cortas exactas) que si tienes

$$0\to A \to B\to C\to 0$$

y sabes que es una secuencia exacta, entonces $B/A\cong C$ .

Las notas dan un ejemplo: si $A=\mathbb{Z}$ y $C=\mathbb{Z}_2$ Entonces, dos cosas $B$ podría ser son $\mathbb{Z}$ y $\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}_2$ .

Entiendo el segundo ejemplo, aunque no el primero. ¿Cómo podría $\mathbb {Z}/\mathbb{Z}\cong \mathbb{Z}$ ¿aguantar? ¿Sería el L.H.S. igual al grupo trivial?

Answer 1

Esta es una buena pregunta, cuando se tiene una secuencia exacta :

$$0\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow 0 $$

No sólo se le da $A$ , $B$ y $C$ sino también un monomorfismo :

$$\iota : A\rightarrow B $$

y un epimorfismo :

$$\pi : B\rightarrow C $$

con la condición de que $Ker(\pi)=Im(\iota)$ ( $\iota$ y $\pi$ indican, respectivamente, la segunda y la tercera flecha).

Entonces, cuando escriba $B/A$ es isomorfo a $C$ no es rigurosamente falsa, sino que es ambigua, ya que $\iota$ y $\pi$ ya no aparecen. En realidad, sería más correcto (y te aconsejo encarecidamente que lo hagas hasta que te acostumbres a la notación) que $B/\iota(A)$ es isomorfo a $C$ .

En su ejemplo da :

$$0\rightarrow \mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}_2\rightarrow 0 $$

Donde $\iota: \mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ viene dada por $z$ mapas a $2z$ . De ahí se deduce que cuando se escribe (ambiguamente) $\mathbb{Z}/\mathbb{Z}$ que (rigurosamente) quiere decir $\mathbb{Z}/\iota(\mathbb{Z})$ es decir $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ que es isomorfo a $\mathbb{Z}_2$ .