¿Cómo resolver esta ecuación compleja para el módulo de z?

Question

La pregunta es la siguiente:

Todas las raíces de la ecuación$11z^{10}+10iz^9+10iz-11=0$ se encuentran:
$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (i=\sqrt{-1})$
(a) dentro de$|z|=1$
(b) en$|z|=1$
(c) fuera de$|z|=1$
(d) no puedo decir

La respuesta es (b). Traté de factorizarlo, pero fue en vano. Además, no me parece que tomar módulo ayude. ¿Cómo abordar este problema?

Answer 1

Mantener los términos de orden superior en el lado izquierdo y la parte inferior de la orden de los términos en el lado derecho, tenemos

$$z^9(11z+10i)=11-10iz$$

En primer lugar comprobar que $11z+10i \neq 0$. Supongamos por el contrario que lo es,$z=\frac{-10i}{11}$$LHS=0$, pero $RHS=11-10i\left(\frac{-10i}{11}\right) \neq 0$. Por lo tanto, podemos dividir ambos tamaños por $11z+10i$.

$$z^9=\frac{11-10iz}{11z+10i}$$.

Tomando módulo cuadrado ambos lados,

\begin{align} \left|z\right|^{18}&=\frac{\left|11-10iz\right|^2}{\left|11z+10i\right|^2}\\ &=\frac{\left(11-10iz \right)\left(11+10i\bar{z} \right)}{\left(11z+10i \right)\left( 11\bar{z}-10i \right)}\\ &=\frac{121+110i\bar{z}-110iz+100\left| z\right|^2}{121 \left|z \right|^2+110i\bar{z}-100iz+100}\\ &= \frac{A}{B} \end{align}

donde puedo dejar el numerador de la expresión en el último segundo de la línea de arriba se $A=121+110i\bar{z}-110iz+100\left| z\right|^2$ y el denominador de la segunda y última línea de arriba se $B=121 \left|z \right|^2+110i\bar{z}-100iz+100.$

Si $|z|>1$,$|z|^{18}>1$,$A>B$$A-B>0$, pero $$A-B=121 \left( 1-\left| z\right|^2\right)+100\left( \left| z\right|^2-1\right)=21(1-\left| z\right|^2)$$

que es negativo, ya que la $\left|z\right|^2>1$ por nuestra suposición. Por lo tanto, una contradicción.

Del mismo modo, si $|z|<1$, $|z|^{18}<1$, a continuación,$A<B$$A-B<0$, pero $A-B=21(1-|z|^2)>0$ que es de nuevo una contradicción.

Por lo tanto $|z|=1$.

Answer 2

La sustitución de $z=e^{it}$ da la ecuación trigonométrica $$11\sin5t+10\cos4t=0,\qquad(1)$$ o $$\cos 4t=-1.1\sin 5t.$$ Fácil ver que $$RHS\left(\dfrac{2k+1}{10}\pi\right)=1.1(-1)^{k+1}$$ para $k=-3,-2,-1,0,1,2$, por lo que LHS y RHS tener al menos cinco intersecciones para $t\in\left(-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\right)$.
Eso significa que $(1)$ tiene al menos 5 de las raíces reales de $t\in\left(-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\right)$.
Por otro lado, se sabe que $$\sin5t=16\sin^5t-20\sin^3t+5\sin t$$ y $$\cos4t=8\sin^4t-8\sin^2t+1,$$ por lo $(1)$ es equivalente a $$176y^5+80y^4-220y^3-80y^2+55y+10=0,\quad y=\sin t.$$ De esta manera, el 5 de orden polinomial ha $5$ bienes raíces para $y\in(-1,1)$.
Que demuestra que la ecuación de $(1)$ sólo tiene raíces reales.

Por lo tanto, la respuesta correcta es $$\boxed{\text{ on |z|=1}}.$$