Ejemplo de unión disjunta de conjuntos que no tiene medida aditiva

Question

Tenía una pregunta sobre la propiedad de aditividad de la medida exterior.

¿Puede alguien dar un ejemplo de unión disjunta de conjuntos que no tenga una medida exterior igual a la suma de la medida exterior de cada conjunto (en $\mathbb{R}^n$ )? Así es:

$m_*(E_1\bigcup E_2)\neq m_*(E_1) + m_*(E_2)$ donde $E_1\bigcap E_2=\emptyset$ y $d(E_1,E_2)$ posiblemente igual a cero.

El teorema afirma que esto se cumple en general si $d(E_1,E_2)> 0$ pero no puedo encontrar un contraejemplo en el que no lo haga si $d(E_1,E_2)=0$ .

Gracias.

Answer 1

En primer lugar, una aclaración sobre la terminología. La propiedad que usted está mencionando es lo que hace que una capa exterior de medir una métrica externa de la medida. Medida de Lebesgue es una métrica externa de la medida, así que sabemos que $m_*(E_1\bigcup E_2)= m_*(E_1) + m_*(E_2)$ donde $E_1\bigcap E_2=\emptyset$ debe ser cierto si $d(E_1,E_2)>0$.

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Ahora, a su pregunta. Una medida exterior es aditivo en la $\sigma$-álgebra de conjuntos medibles $\mathcal{M}$. De hecho, si $E_1, E_2 \in \mathcal{M}$, tenemos $$ m_*(E_1\copa E_2)=m_*((E_1\copa E_2)\cap E_1)+m_*((E_1\copa E_2)\cap E_1^c)= m_*(E_1) + m_*(E_2), $$ utilizando la definición de conjunto medible. Así que tenemos que buscar un contraejemplo entre los que no se pueden medir conjuntos. Tenga en cuenta que Solovay demostrado en 1970 que la existencia de un no-medibles conjunto sólo es posible si suponemos el Axioma de Elección, por lo que no habrá un trivial respuesta a su pregunta.

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El más famoso de la construcción de un no-medibles conjunto es el conjunto de Vitali. Como en esta respuesta de JDH, podemos construir un conjunto de Vitali $V$ de tal manera que se contiene en $[0,a]$, para cualquier $a \in (0,1)$. También, desde el interior de la medida de $V$ es cero, tenemos que $m_*([0,a]\setminus V)=a$ y, a continuación, $[0,a]\setminus V$ es un no-medibles conjunto de medida $a$. Tenga en cuenta que debemos tener $m_*(V)>0$, debido a que un conjunto es medible si y sólo si su exterior e interior y las medidas coinciden, y sabemos que ésta sea cero. Entonces tenemos, por establecimiento $E_1=V$$E_2= [0,a]\setminus V$, $$ a=m_*([0,a])=m_*(E_1 \copa E_2) < m_*(E_1)+m_*(E_2)=a + m_*(V). $$

Answer 2

Sea$B$ un conjunto de Bernstein en$\mathbb R$. Luego, ambos $$ E_1 = [0,1] \ cap B \ qquad \ text {y} \ qquad E_2 = [0,1] \ setminus B $$ tienen una medida interna de cero y una medida externa de uno. Pero están desunidos con la unión$[0,1]$. Ahora$0 + 0 \ne 1$ así que la medida interna no es aditiva, y$1+1 \ne 1$ así que la medida externa no es aditiva.

Answer 3

Deje que la Hipótesis Continuosa$2^{\omega}=\omega_1$ sea válida. Luego tenemos la siguiente representación$[0,1]=(x_{\xi})_{\xi<\omega_1}$. Ponemos$A=\{ (x_{\eta}, x_{\xi}): \eta <\xi <\omega_1\}$ y$B=\{ (x_{\eta}, x_{\xi}):\omega_1> \eta \ge \xi\}$. Es obvio que$A\cup B=[0,1]\times [0,1]$ y$A\cap B=\emptyset$. Luego obtenemos$1=m^*(A \cup B)\neq m^*(A)+m^*(B)=1+1=2$, donde$m^*$ denota una medida externa producida por Lebesgue medida$m$ en$R^2$. Si denotamos por$m_*$ una medida interna producida por$m$, entonces obtenemos$1=m_*(A\cup B)\neq m_*(A)+m_*(B)=0+0=0$.