El número de$n\times n$ matriz sobre el campo entero$p$ campo con determinante igual$1$

Question

¿Cómo contar el número de$n\times n$ matriz sobre el campo entero módulo$p$ con un determinante igual a$1$?

Sé que el número de matrices invertibles es GL$(n,p)$. ¿Tienes alguna idea?

Answer 1

Una matriz tiene determinante distinto de cero si y sólo si sus columnas son linealmente independientes. Elija un no-vector cero $v_1 \in \mathbb F_p^n$. Ahora $v_2$, en la segunda columna, debe ser linealmente independientes de a $v_1$, es decir, no debe estar en el subespacio generado por $v_1$, que contiene $p$ elementos. La elección de $v_3$ fuera del subespacio generado por $v_1,v_2$ significa que puede elegir cualquiera de estos $p^2$ elementos. Seguir así, y verás que la respuesta es $$ \frac 1{p-1} (p^n-1)(p^n-p) \cdots (p^n-p^{n-1}). $$ (uno puede tomar cualquiera de estos $n$-tuplas de vectores $\{v_1,\cdots,v_n\}$ y la construcción de una $(p-1)$a-$1$ mapa de las matrices de determinante $1$ por la normalización de la primera vector).

Espero que ayude,

Answer 2

En términos de la teoría de grupos (quizás más fácil de recordar), se puede definir un homomorfismo suprayectivo $$\phi: GL(n,p) \rightarrow \mathbb F_p^{*}$$ by $$\phi(A)=det(A).$$ Obviously $ ker (\ phi) = SL (n, p) $ and since $ | \ mathbb F_p ^ {*} | = p-1$, index$ [GL (n, p): SL (n, p)] = p-1 $.