$GL_n^+(A)$ está abierto pero$U_n^+(A)$ no está

Question

Deje $A$ ser una C*-álgebra. $\tilde{A}$ ser la unificación de $A$. He comprobado el siguiente lema:

Si $x$ e $y$ son elementos de $M_n(\tilde{A})$ tal que $x$ es invertible y $\|x-y\| \leq \frac{1}{\|x^{-1}\|}$, entonces los elementos de a$x+t(y-x)$, $t \in [0,1]$ son todos invertible en a$M_n(\tilde{A})$.

Deje $\pi:\tilde{A} \to \mathbb{C}$ ser el mapa que lleva a $a+\lambda$ a $\lambda$ y se extiende a $M_n(\tilde{A}) \to M_n({\mathbb{C}})$ por $(a_{ij}) \mapsto (\pi(a_{ij}))$y $$GL_n^+(A)=\{a \in GL_n(\tilde{A})| \pi(a)=1\}$$ $$U_n^+(A)=\{a \in U_n(\tilde{A})| \pi(a)=1\}$$

Se desprende de este lema que $GL_n^+(A)$ está abierto? Y sé que la información que $U_n(\tilde{A})$ no está abierta, pero yo no podía encontrar una razón apropiada. Cualquier ayuda es apreciada.

Answer 1

No, No es así. Incluso sin una clara definición de las $\pi$ (ya que debería actuar en $M_n(\tilde A)$), cualquier definición razonable de $\pi$ será continua, y por lo que pueden perturbar una $a$ con $\pi(a)=1$ muy ligeramente para obtener $\pi(a+\varepsilon)\ne1$. Por lo $GL_n^+(A)$ no está abierto.

El grupo unitario, por otro lado, está cerrado (porque una norma-límite de unitaries es un unitario), y ahora $$U_n^+(A)=U_n(\tilde A)\cap \pi^{-1}(\{1\}).$$ es cerrado si $\pi$ es continua.

Usted debería considerar la posibilidad de mejorar su pregunta un poco, en particular por escrito una definición adecuada de la $\pi$, y/o cómo se extiende a $M_n(\tilde A)$.