Demuestra que un grupo de orden 42 debe tener un subgrupo de orden 6

Question

Demostrar que un grupo de orden 42 debe tener un subgrupo de orden 6.

En primer lugar, utilizo el teorema de Sylow para demostrar que debe existir un subgrupo de orden 7 . ¿Y el 6?

Answer 1

El número de Sylow 3-subgrupos:

1. es congruente con $1\pmod{3}$
2. divide $|G|$
3. es igual a $[G:N_G(P)]$ para cualquier subgrupo Sylow 3 $P$

Los puntos (1) y (2) muestran que el número de subgrupos Sylow 3 es o bien $1$ ou $7$ .

Si sólo hay uno, es normal (y podemos hablar de el 3-subgrupo de Sylow $P$ ). Entonces, si $Q$ es un subgrupo Sylow 2, $PQ$ es un subgrupo (porque $P$ es normal), y tiene orden $6$ .

Si hay siete subgrupos Sylow 3, entonces el punto (3) muestra $|N_G(P)|=6$ y ya está.

Answer 2

Un exceso: El grupo simple no abeliano más pequeño es $A_5$ de orden $60$ . Así, cada factor de composición de $G$ de orden $42$ es de orden primo. Y así $G$ tiene solución. $G$ tiene una Sala $π$ -subgrupo para cada conjunto $π$ de primos. Por lo tanto, $G$ tiene una Sala $2,3$ -subgrupo de orden $6$ .

P. S. En efecto, en lugar de demostrar que $A_5$ es el grupo simple no abeliano más pequeño, se puede proceder sabiendo primero que $G$ no es simple: tiene una Sylow normal $7$ -y demostrar que no existen grupos simples no abelianos de orden $\le21$ . Ahora trabajamos con grupos de pedidos mucho más pequeños.