Desigualdades por diferencias de valores absolutos de matrices

Question

Deje $A$ $B$ dos real simétrica $n\times n$ matrices. Deje $A=USU^T$ ser el eigen-descomposición $A$ y deje $|A|=U|S|U^T$ donde $|S|$ sólo denota elementwise valor absoluto de la diagonal de la matriz $S$. $|B|$ se define de manera similar.

(A veces se escribe $|A|=(A^T A)^{1/2}$. Ie $|A|$ es positiva definida la matriz con los mismos vectores propios y de la misma singular valores como $A$).

Supongamos $\|\cdot\|$ es el estándar $L^{2}$ operador de la norma en $n\times n $ matrices, por lo $\|A\|=\sup_{x} \frac{\|Ax\|_2}{\|x\|_2}$.

Es cierto que $\|A-B\| \geq \| |A|-|B|\|$?

Nota, para los vectores y la 2-norma donde se toma el valor absoluto del elemento-sabio, esto es cierto ya que es cierto de los números reales.

Answer 1

No parece correcto en general. Código de Mathematica:

A = {{2, 1}, {1, 1}};
B = {{2, 2}, {2, 1}};
Print["SD(A) = ", Map[MatrixForm, SchurDecomposition[A // N]]]
Print["SD(B) = ", Map[MatrixForm, {u, t} = SchurDecomposition[B // N]]]
Print["B = ", u.t.Transpose[u] // MatrixForm]
Print["|B| = ", (B2 = u.Abs[t].Transpose[u]) // MatrixForm]
Print["SD(|B|) = ", Map[MatrixForm, SchurDecomposition[B2 // N]]]
Print["|A-B| = ", Norm[A - B, 2] // N]
Print["|A-|B|| = ", Norm[A - B2, 2]]
Print["|A-B| - |A-|B|| = ", Norm[A - B, 2] - Norm[A - B2, 2]]

produce la siguiente salida:

SD(A) = {(
    0.850651    -0.525731
    0.525731    0.850651
    )
,
    (
    2.61803 0.
    0.  0.381966
    )
}
SD(B) = {(
    0.788205    -0.615412
    0.615412    0.788205
    )
,
    (
    3.56155 0.
    0.  -0.561553
    )
}
B = (
2.  2.
2.  1.
)
|B| = (
2.42536 1.45521
1.45521 1.69775
)
SD(|B|) = {(
    0.788205    -0.615412
    0.615412    0.788205
    )
,
    (
    3.56155 0.
    0.  0.561553
)}
|A-B| = 1.
|A-|B|| = 1.0367
|A-B| - |A-|B|| = -0.0367044

La norma es exactamente el que estás diciendo es, y $A = |A|$ es positiva definida, por lo que no necesita computar $|A|$.

Un criterio simple es que si viajan, porque en ese caso, son simultáneamente orthonormally diagonalizable.

No veo un claro criterio para ambas direcciones. Si establecemos $a_{11} = 2.04309043$ en el ejemplo anterior, se obtiene $\|A-B\| - \||A|-|B|\| \approx 6.15326 \cdot 10^{-9}$ y, más allá de eso, tenemos más positivos.

La definición de

$$A = \begin{bmatrix} x & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix},$$

we get the following plots for $f(x) := \|B\| - \||A|-|B|\|$:

The second one was made with $|A|$ instead of $$, since $$ deja de ser positiva definida.

He intentado buscar en los autovalores un poco, pero veo que no hay patrones útiles.