¿Cuáles son los mapas en la secuencia exacta larga de grupos de homotopía para la fibración de espacio de bucle libre?

Question

Sea $(X,x)$ sea un complejo CW conexo punteado, y sea $\mathcal L X = Map(S^1, X)$ sea su espacio de bucle libre. Tenemos una fibración $\mathcal L X \to X$ dado evaluando en el punto base $0 \in S^1$ cuya fibra es el espacio de bucles puntiformes $\Omega_{x} X$ con sede en $x$ . Sea $\lambda \in \mathcal L X$ sea un punto base; podemos suponer sin pérdida de generalidad que $\lambda(0)= x$ . Entonces, hablando con propiedad, tenemos una secuencia de fibración de espacios puntiformes:

$$(\Omega_{x} X, \lambda) \to (\mathcal L X, \lambda) \to (X,x)$$

Obtenemos una larga secuencia exacta en homotopía. El final de la misma se parece a esto:

$$\dots \to \pi_1(X,x) \to \pi_0(\Omega_{x} X, \lambda) \to \pi_0(\mathcal L X, \lambda) \to 0$$

Ahora, me dicen que $\pi_0(\mathcal L X)$ está en biyección con las clases de conjugación de los elementos de $\pi_1(X)$ . Dado que el término medio está en biyección canónica con $\pi_1(X, x)$ ,

• Esto me lleva a suponer que el mapa $\pi_1(X,x) \to \pi_0(\Omega_{x} X, \lambda)$ es $\gamma \mapsto \gamma \lambda \gamma^{-1}$ .

Si ese es el caso, entonces el núcleo de este mapa es el centralizador $Z_{\pi_1(X,x)}(\lambda)$ . Así que la siguiente parte de la larga secuencia exacta es:

$$\dots \to \pi_2(X,x) \to \pi_1(\Omega_x X, \lambda) \to \pi_1(\mathcal L X, \lambda) \to Z_{\pi_1(X)}(\lambda) \to 0$$

No sé lo que el mapa $\pi_2(X,x) \to \pi_1(\Omega_x X, \lambda)$ es:

• La suposición natural es que este mapa es $\beta \mapsto \beta^\lambda$ donde esto denota la acción natural de $\pi_1(X,x)$ en $\pi_2(X,x)$ .

Pero este mapa es un isomorfismo; si este patrón persistiera a grupos de homotopía superiores, implicaría que $\mathcal L X$ es asférica, y eso no puede ser cierto -- por ejemplo, los componentes de trayectoria de los bucles constantes contienen $X$ como repliegue, y $X$ no tiene por qué ser asférica. Así que no creo que esta suposición pueda ser correcta.

Pregunta: ¿Es correcta alguna de las afirmaciones anteriores? En caso negativo, ¿existe una buena descripción del mapa $\pi_{n+1}(X,x) \to \pi_n(\Omega_x X, \lambda)$ en la secuencia exacta larga de la fibración del espacio de bucle libre?

Answer 1

La secuencia de fibración en cuestión es la secuencia de evaluación

$$\dots\rightarrow\Omega X\xrightarrow{\Delta_\lambda}Map^*_\lambda(S^1,X)\rightarrow Map_\lambda(S^1,X)\xrightarrow{e} X$$

Aquí el subíndice $\lambda$ denota el componente de trayectoria de $\lambda$ en los espacios cartográficos, $e$ es el mapa de evaluación del punto base y $\Delta_\lambda$ es el mapa de conexión de la fibración, que depende mucho de la elección particular de $\lambda$ . En su notación esto es exactamente

$$\dots \rightarrow X\xrightarrow{\Delta_\lambda}\Omega_\lambda X\rightarrow\mathcal{L}_\lambda X\xrightarrow{e}X.$$

Me temo que esta notación es un poco distinta de la suya: aquí $\Omega_\lambda X$ denota el componente de trayectoria del bucle $\lambda$ en $\Omega X$ y $\Omega_0 X$ denotan la componente de trayectoria del bucle constante en $X$ . Llevamos alrededor del punto base $x\in X$ implícitamente aquí, y todos los bucles se basarán en $X$ . Mezclando notaciones tenemos $\pi_n(\Omega_\lambda X)=\pi_n(\Omega_xX;\lambda)$ (Me quedo con la primera).

Ahora observa que los homomorfismos que estás estudiando son exactamente los inducidos por el mapa de conexión $\Delta_\lambda$ . Y aquí estás de suerte, ya que esta situación ha sido estudiada tanto por Whitehead como por Lang. Te voy a señalar hacia el papel de Lang El Mapa de Evaluación y las Secuencias EHP para más detalles de los que incluyo a continuación, ya que tengo esta referencia a mano.

Ahora $\Omega X$ es un espacio H de tipo grupo, por lo que todos sus componentes de camino tienen el mismo tipo homotópico. En particular, el mapa de traslación derecho

$$\Omega_\lambda X\rightarrow \Omega_0X,\qquad \omega\mapsto \omega\lambda^{-1}$$

es una equivalencia homotópica. Si insertamos esta transformación en la fibración de evaluación, el mapa de conexión se convierte en un mapa

$$P_\lambda:\Omega X\xrightarrow{\Delta_\lambda} \Omega_\lambda X\xrightarrow{\simeq}\Omega_0X.$$

La utilidad de esto es que $\pi_n(\Omega_0X)=\pi_nX$ (Estoy asumiendo wlog que $X$ es un camino conectado), así que con estas identificaciones nuestra secuencia exacta larga es

$$\dots\pi_nX\xrightarrow{P_\lambda}\pi_{n}X\rightarrow \pi_{n-1}\mathcal{L}_\lambda X\xrightarrow{e_*} \pi_{n-1}X\rightarrow\dots$$

y Lang nos dice

El homomorfismo $P_\lambda$ es el producto Whitehead $\alpha\mapsto [\alpha,\lambda]$ .

En particular, su primer mapa es correcto, ya que en $\pi_1$ el producto Whitehead en cuestión es $[\alpha,\lambda]=\alpha\lambda\alpha^{-1}\lambda^{-1}$ (recuerda nuestro mapa de traducción).

Así que espero que ahora sepa lo que el mapa en $\pi_2$ y, más en general, cuál es el mapa en $\pi_n$ es.