Gavilla de un subconjunto cerrado

Question

Me han dado la siguiente definición:

Deje $(X,\mathcal{O}_X)$ ser un anillado espacio que es localmente isomorfo a un afín algebraicas variedad, y $Y\subseteq X$ ser cerrado. A continuación, para abrir el $V\subseteq Y$, conjunto $$\begin{align*} \mathcal{O}_{0,Y}(V)=\{f:V\to k\mid{}&\exists U\subseteq X\text{ open such that }U\cap Y=V\\ &\text{and } g\in\mathcal{O}_X(U)\text{ such that } g\vert_V=f\} \end{align*}$$ Esto define un presheaf $\mathcal{O}_{0,Y}$ a $Y$, pero, en general, de una gavilla.

Sin embargo, yo estoy luchando para venir para arriba con un ejemplo donde esto no puede ser una gavilla.

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Pensé que había encontrado un contraejemplo a $X=\mathbb{C}^2$, $Y=V(xy)$, $U=D(x)\cap Y$ e $V=D(y)\cap Y$. A continuación, $U\cap V=\varnothing$, y tan si $\mathcal{O}_{0,Y}$ eran una gavilla, a continuación, nos gustaría ser capaces de pegamento para hacer una función en $U\cup V$ que es decir $1$ a $U$ e $-1$ a $V$.

Puedo demostrar que no podemos obtener una función de este tipo de encolado de dos funciones en $D(x)$ e $D(y)$, pero podemos tomar $\frac{x+y}{x-y}$ a $D(x-y)$ a dar a la función requerida. Entonces no es suficiente con solo marcar la casilla 'obvio' abrir la cubierta, y todavía no he sido capaz de encontrar un contraejemplo que funciona para cada uno.

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Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Esta es una especie de desorden y, probablemente, podría ser por escrito mejor, pero creo que esto funciona:

Tome $X$ a de la línea con "doble origen", es decir, definimos $X$ al pegar dos copias de $\Bbb A^1$ juntos a lo largo en el abierto subconjunto $\Bbb A^1\smallsetminus\{0\}$ (con identidad como el isomorfismo podemos identificar estos subconjuntos abiertos). Porque yo te quiero para referirse a las copias de $\Bbb A^1$, vamos a $X_0$ e $X_1$ denotar nuestros dos copias de $\Bbb A^1$, que son ahora, naturalmente, identificado con abrir los subconjuntos de a$X$, y deje $O_0,O_1$ denotar los dos "orígenes", por lo $O_i\in X_i$.

Nota ahora que $\{O_0\}=X\smallsetminus X_1$, lo $O_0$ es un punto cerrado, y de manera similar a $O_1$ es un punto cerrado. Tome $Y:=\{O_0,O_1\}$, que luego es un subconjunto cerrado y la topología de subespacio es la topología discreta, por lo $\{O_0\}$ e $\{O_1\}$ son subconjuntos abiertos de $Y$. Entonces podemos mirar en constante mapa de $f_i:\{O_i\}\to k$ envío de $O_i\mapsto i$, y no es difícil comprobar esto nos da un elemento de $\mathcal O_{0,Y}(\{O_i\})$.

Pretendemos $f_0,f_1$ no le pegue a un elemento de $\mathcal O_{0,Y}(Y)$. Si lo hacen, decir $f\in\mathcal O_{0,Y}(Y)$, entonces por definición no es un subconjunto abierto $U$ de $X$ que contiene $Y$ y un elemento $g\in\mathcal O_X(U)$ tal que $g|_Y=f$. Pero, por definición, de una gavilla, porque $X_0$ e $X_1$ cubierta $X$, un elemento $g\in\mathcal O_X(U)$ es lo mismo que un par de elementos de a$g_i\in\mathcal O_X(U\cap X_i)$ para $i=0,1$ que son iguales en la intersección.

Ahora, debido a $X_0$ es en realidad $\Bbb A^1$, el complemento de a$U\cap X_0$ en $X_0$ es un conjunto finito de puntos de $a_1,\dots,a_m$. Por lo tanto, $g_0$ es sólo un cociente de dos polinomios, el denominador de la cual no se desvanecen en cualquier $a_i$, y podemos escribir $g_1$ en el mismo camino. Pero estos dos están de acuerdo en la superposición, el cual consta de un número infinito de puntos (se debe asumir que somos más de $\Bbb C$ o cualquier otro algebraicamente cerrado de campo aquí), así que usted puede tratar de usar esto para concluir que las expresiones que definen $g_0$ e $g_1$ son funciones racionales de hecho son iguales (usted debe utilizar el hecho de que si dos polinomios coinciden en un subconjunto infinito, entonces son iguales), por lo $g_0$ e $g_1$ debe ser igual en todas partes se definen (y, en particular, en $Y$). Pero también tenemos

$$g_i|_{\{O_i\}}=(g|_{X_i})|_{\{O_i\}}=g|_{\{O_i\}}=(g|_Y)|_{\{O_i\}}=f|_{\{O_i\}}=f_i,$$

y debido a que $f_0$ e $f_1$ tomar diferentes valores en nuestros dos orígenes que esto es imposible.