¿Caso especial de la paradoja de Bertrand o sólo un error?

Question

He estado trabajando en una pregunta y parece que he obtenido una respuesta paradójica. Lo más probable es que haya cometido un error en alguna parte, sin embargo, dilucidaré la pregunta y mi solución por si a alguien le interesa.

---

Quiero saber cuál es la distancia media entre dos puntos de una circunferencia de radio 1 en la que consideramos sólo los puntos límite.

Mi intento es el siguiente:

Considera un segmento de diámetro x que se distribuye uniformemente entre 0 y 2. Entonces se puede calcular la distancia entre los puntos (2,0) y el punto determinado por x simplemente por geometría elemental como muestra esta imagen:

Aquí en la imagen, el segmento verde es la media geométrica y el naranja es la distancia cuya distribución queremos conocer. Simplemente calculando el valor esperado, obtenemos:

$E\left(\sqrt{(4-2X)}\right) = \int_{0}^{2} \sqrt{(4-2x)}\cdot\frac{1}{2} dx = 1.333.... = \frac{4}{3}$

Dónde $\sqrt{(4-2x)}$ es la transformación de la variable aleatoria y $\frac{1}{2}$ es el pdf de una distribución uniforme $[0,2]$ .

Además, si derivamos el pdf de la transformación obtenemos el mismo resultado:

$y = \sqrt{(4-2x)} , x = 2- \frac{y^2}{2}, \mid\frac{d}{dy}x\mid = y$

$g(y)=f(x)\cdot\mid\frac{d}{dy}x\mid = \frac{1}{2}\cdot y$

$E(Y)= \int_{0}^{2}y\cdot\frac{1}{2}\cdot y dy = 1.333.... = \frac{4}{3} $

He visto un enfoque diferente en algún otro lugar donde la distribución del ángulo se considera como una distribución uniforme entre 0 y $\pi$ y el resultado final fue:

$1.27... = \frac{4}{\pi}$

Ese es más o menos el problema que encontré. Tal vez lo hice mal en algún paso pero todo tiene sentido para mí. Sé que esto no es exactamente lo que llamamos la paradoja de Bertrand, pero sólo sugiere algo así porque ambos problemas se manejan con segmentos en la circunferencia y tal vez mi resultado es incorrecto porque no se mantiene para las rotaciones del círculo o algo así (leí un poco sobre la Paradoja de Bertrand).

---

Eso es todo. También perdón por mi mal inglés y puede que también me equivoque en algo bastante elemental ya que acabo de empezar a aprender sobre teoría de la probabilidad. También es mi primer post así que intentaré mejorar mi exposición y uso de LateX en los siguientes.

Answer 1

Esta es una pregunta muy bonita, bien escrita e investigada antes de publicarla. Está claro que has puesto mucho cuidado en tu pregunta y es muy apreciada en este sitio (y me ha parecido que tu inglés se lee con total naturalidad). Muchas gracias por tomarte el tiempo de hacer una pregunta seria y bien pensada. Espero que esta respuesta esté a la altura del alto nivel de calidad de su pregunta.

No veo ningún error de cálculo por tu parte, y apuesto a que los has comprobado a fondo. El fallo es algo mucho más sutil y está relacionado con el planteamiento inicial del problema.

Has resuelto correctamente el problema de "cuál es la distancia media entre el punto más a la derecha de un círculo y otro punto proyectado hacia arriba desde un punto elegido al azar en el diámetro". Pero esto no captura del todo la misma distribución de probabilidad que "el punto más a la derecha y otro punto elegido al azar en el círculo" (que es suficiente para capturar la dinámica de "dos puntos al azar en el círculo").

Hay una no uniformidad oculta en el proceso de proyección, y es que el círculo tiene una pendiente variable, por lo que la proyección golpea el círculo de forma diferente en distintas posiciones.

Aquí hay un experimento que debería ayudar a convencerte de que la distribución uniforme en el diámetro no produce una distribución uniforme en el límite del círculo. Fundamentalmente, una distribución uniforme debería tratar todos los arcos de la misma longitud por igual: un punto aleatorio tiene un $1/4$ probabilidad de caer en un cuarto de arco circular, independientemente del cuarto de círculo que sea.

Compara ahora dos cuartos de círculo concretos y sus proyecciones sobre el diámetro: 1) el cuarto de círculo adyacente a $(2,0)$ es decir, de las 12 a las 3, y 2) el cuarto de círculo centrado en el punto más alto $(1,1)$ Es decir, de 10:30 a 1:30.

Ambos se proyectan sobre el diámetro sin solaparse (evitando la doble contabilidad). Pero el primero se proyecta hasta el intervalo $[0,1]$ que tiene una longitud $1$ y el segundo se proyecta hasta $[-\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2]$ que tiene una longitud $\sqrt2$ .

Esto debería indicarle que las dos distribuciones no son equivalentes (aunque intuitivamente lo parezcan). En consecuencia, el proceso aleatorio de elegir uniformemente del diámetro y proyectar sobre el círculo resulta en favorecer desproporcionadamente los sectores superior e inferior del círculo sobre el izquierdo y el derecho.

Answer 2

Gracias, Erick Wong, por tus comentarios. Después de tu respuesta, he calculado la distribución de la longitud de arco sujeta a la distribución uniforme del punto en el diámetro. De hecho: si queremos expresar la longitud de arco $l$ en función de $x$ , $l = f(x)$ obtenemos:

$l = \arccos(1-x), x = 1-\cos{l}, |\frac{d}{dl}(x)| = \sin{l}$

$l_{pdf} = x_{pdf} \cdot |\frac{d}{dl}x| = \frac{1}{2}\cdot \sin{l}$ .

Así que la longitud de arco no se distribuye de manera uniforme, se podría decir que la hemos "perdido". Eso es lo que estaba mal. Por ejemplo, si la longitud de arco obedece a una distribución uniforme [0, $\pi$ ], entonces podemos calcular el segmento $s$ en función de la longitud del arco:

Sabemos que $l = f(x)$ y quiere saber $s = h(l)$ . Si calculamos $s = g(x)$ hemos terminado:

De la imagen en la pregunta que publico, $s = g(x)=\sqrt{2x}$ (o el segmento opuesto $\sqrt{4-2x}$ ) entonces $h = g \circ f^{-1}$ , $s = \sqrt{2(1-cosl)}$

$E(s) = \int_0^\pi{\sqrt{2(1-cosl)}\frac{1}{\pi}dl}=1.273... = \frac{4}{\pi}$

También el pdf:

$s = h(l) = \sqrt{2(1-cosl)} , l=h^{-1}(s)= 2\cdot \arcsin(\frac{s}{2}), |\frac{d}{ds}h^{-1}|=\frac{2}{\sqrt{4-s^2}}$

$s_{pdf} = \frac{1}{\pi} \frac{2}{\sqrt{4-s^2}}$

$E(s) = \int_0^2{s\cdot \frac{1}{\pi} \frac{2}{\sqrt{4-s^2}}ds} = 1.273... = \frac{4}{\pi}$

Así que hemos terminado. Además, el pdf del segmento sugiere algo relacionado con la distribución de Cauchy. No exactamente, pero desde luego tiene que ver con ella. Si leemos la descripción de la distribución de Cauchy en Wolfram MathWorld:

"La distribución de Cauchy, también llamada distribución lorentziana o distribución de Lorentz, es una distribución continua que describe el comportamiento de la resonancia. También describe la distribución de las distancias horizontales a las que un segmento de línea inclinado con un ángulo aleatorio corta el eje x."

Y eso es todo. Un problema realmente fascinante que introduce algunas ideas sutiles de la teoría de la probabilidad. Si alguien sabe algo más, por favor, que me dé su opinión. Realmente creo que hay una buena conexión con la distribución de Cauchy.