¿Es este iterador de Picard estocástico bien definido?

Question

Preliminares

• Deje $x_0 \in \mathbb{R}^d$.
• Deje $T \in (0, \infty)$.

• Deje $$ \sigma: \mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}^{d \times d}$$y $$\mu: \mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}^{d}$$ ser afín a transformaciones lineales (lo que implica, que son suaves y globalmente Lipschitz).

• Deje $(\Omega, \mathcal{G}, (\mathcal{G}_t)_{t \in [0,T]}, \mathbb{P})$ ser un completo espacio de probabilidad con un completo, derecha-filtración continua, $(\mathcal{G}_t)_{t \in [0,T]}$.

• Deje $B : [0,T] \times \Omega \rightarrow \mathbb{R}^d$, $(t,\omega) \mapsto B_t(\omega)$, un estándar $d$-dimensional $(\mathcal{G}_t)_{t \in [0,T]}$-adaptar el movimiento Browniano en $\mathbb{R}^d$, de tal manera que $B_0 = 0$ y tales que, para cada par $(t,s) \in \mathbb{R}^2$ con $0 \leq t < s$, la variable aleatoria $B_s-B_t$ es independiente de $\mathcal{G}_t$.

Pregunta

Consideremos el conjunto \begin{equation} \begin{gathered} \mathcal{S}_{T} := \{ S: [0,T] \times \Omega \rightarrow \mathbb{R}^d \mid \\ S \ \text{is} \ (\mathcal{G}_t)_{t \in [0,T]} \text{-adapted and has %#%#%-a.s. continuous sample paths} \} . \end{reunieron} \end{equation} me gustaría definir un tipo de Picard función de iterador a través de \begin{equation} \begin{gathered} \mathcal{I}_{\text{Pic}}^{(x_0, \sigma, \mu)} : \mathcal{S}_{T} \rightarrow \mathcal{S}_{T}, \\ \mathcal{I}_{\text{Pic}}^{(x_0, \sigma, \mu)}(S)_t = x_0 + \int_{0}^{t} \mu (S_s) ds + \int_{0}^{t} \sigma(S_s) dB_s. \end{reunieron} \end{equation} Pero es $\mathbb{P}$ realmente bien definidas para todos los $\mathcal{I}_{\text{Pic}}^{(x_0, \sigma, \mu)}$ e $t$? Ambos son integrales en la expresión siempre está bien definida para todos los $\omega$ e $t$? Y, lo que es más importante, no $\omega$ realmente mapa de $\mathcal{I}_{\text{Pic}}^{(x_0, \sigma, \mu)}$ dentro de sí mismo?

(Todavía estoy aprendiendo los fundamentos de la stochatic cálculo.)

Answer 1

En esta respuesta, a raíz de tu comentario, supongo que la integral de Ito ha sido construido como en Le Gall del libro. Desde que trabajo en un almacén de intervalo de tiempo, el movimiento Browniano es un proceso constante de $L^2$-martingala acotada allí y tan sólo necesitamos que parte de la construcción.

La principal dificultad es que la integral de Ito no es realmente definidos por clases de equivalencia de integrands. Es decir, Le Gall define la integral de Ito para integrands en el espacio $L^2(B):=L^2(\Omega \times [0,T], \mathcal{P}, d\mathbb{P} \otimes ds)$ donde $\mathcal{P}$ es el progresivo $\sigma$-álgebra. Este espacio se compone de clases de equivalencia de a$d\mathbb{P} \otimes ds$- .e. igual procesos (puedo decir que no lo ha hecho ya que sus procesos son sólo casi seguramente continuo). Así, en orden a tomar un Ito integral de $S \in \mathcal{S}_T$ primero debemos identificar a $S$ con su $d\mathbb{P} \otimes ds$ equivalencia de la clase. Vamos a estar de acuerdo que nos implícitamente ello, cuando escribimos la integral de Ito.

Otro aspecto técnico es que la integral de la $\int_0^t \mu(S_s)(\omega) ds$ no necesitan ser definidas para todos los $\omega$. Por ejemplo, si $d = 1, \mu = \operatorname{Id}$ esto es esencialmente pidiendo para definir la integral de Riemann de una forma arbitraria irregular camino, que no podemos hacer. Así que necesitamos a un acuerdo de qué hacer en la medida de $0$ conjunto discontinuo de caminos. Una forma de evitar este problema es llegar a un acuerdo para integrar a un representante de $S$ para que cada recorrido de la muestra es continua. Por supuesto, hay muchos de esos representantes. Sin embargo, las integrales obtenemos de esta manera sólo pueden diferir en una medida $0$ conjunto y así son las versiones de cada uno de los otros.

Después de haber hecho esto, ya Le Gall construcción de la integral de Ito en contra de una continua $L^2$-limita la martingala es un continuo $L^2$-martingala acotada y la integral de Riemann es continuo, el proceso de $\mathcal{I}_{\text{Pic}}^{(x_0, \sigma, \mu)}(S)$ se define como una clase de equivalencia de procesos continuos (todos de los cuales son versiones de cada uno de los otros) y, en particular, se definen para todos los $t$.

Finalmente, mediante la aproximación de cada una integral por la suma de Riemann tipo de aproximaciones (adaptados) vemos que cada miembro de esta clase de equivalencia está adaptada.

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La versión corta de esto es que la pregunta es un poco complicado porque a menudo en este tema que nos escriba un proceso, cuando nos referimos realmente a toda una clase de equivalencia de procesos. Lo que el de arriba que dice es que si se reemplaza $\mathcal{S}_T$ por $\mathcal{S}_T / \sim$ donde $S \sim \hat{S}$ si y sólo si $\hat{S}$ es una versión de $S$, luego $$\mathcal{I}_{\text{Pic}}^{(x_0, \sigma, \mu)}(S): \mathcal{S}_T \to \mathcal{S}_T.$$ Si usted no hace esto, hay un poco de un tipo de desajuste y usted tiene que elegir un miembro de una clase de equivalencia en un poco de manera arbitraria. En verdad, la forma habitual de tratar con estos problemas es simplemente de acuerdo en que siempre lo hemos identificado los procesos de la manera correcta desde el principio.