$\cos(n\vartheta)=\frac{a_n}{3^n}$

Question

Quiero mostrar,

si yo sé que $\cos(\vartheta)=\frac{1}{3}$ que $\cos(n\vartheta)=\frac{a_n}{3^n}$ para $n\in \mathbb{N}$, donde $a_n \in \mathbb{Z}$,$3 \nmid a_n $

Mi enfoque era hacerlo por inducción. Para n=1 es claro. De lo que solía $\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)$ con $\alpha=n\vartheta$ e $\beta=\pm \vartheta$. He añadido los resultados y consiguió $\cos((n+1)\vartheta)=2\cos(\vartheta)\cos(n\vartheta)-\cos((n-1)\vartheta)$.

Llego a continuación

$\cos((n+1)\vartheta)=2\frac{1}{3}\frac{a_n}{3^n}-\cos((n-1)\vartheta) = \frac{2a_n-\cos((n-1)\vartheta)3^{n+1}}{3^{n+1}}$

No sé cómo argumentan que $2a_n-\cos((n-1)\vartheta)3^{n+1} \in \mathbb{Z}$ y que $3 \nmid 2a_n-\cos((n-1)\vartheta)3^{n+1}$.

Gracias de antemano

Answer 1

Si $a_n = 3^n \cos(n \vartheta)$ , su ecuación $\cos((n+1) \vartheta) = 2 \cos(\vartheta) \cos(n \vartheta) - \cos((n-1) \vartheta)$ puede escribirse como $$ a_{n+1} = 2 a_n - 9 a_{n-1} $ $ y entonces es obvio que si $a_n$ y $a_{n-1}$ son enteros, entonces es $a_{n+1}$ , y si $a_{n} \not\equiv 0 \bmod 3$ entonces $a_{n+1} \not\equiv 0 \bmod 3$ .