Variante de la Ley Fuerte de Números Grandes

Question

Deje $X_1,X_2,\ldots$ ser un yo.yo.d. secuencia de variables aleatorias con distribución uniforme en $[0,1]$, $X_n: \Omega \to \mathbf{R}$ por cada $n$.

Pregunta. Es cierto que $$ \mathrm{Pr}\left(\left\{\omega \en \Omega: \lim_{n\to \infty}\frac{\sum_{1\le i\le j \le n}{\bf{1}}_{(-1/n,1/n)}{(X_i(\omega)-X_j(\omega))}}{n}=2\right\}\right)=1\,\,\,? $$

Aquí ${\bf{1}}_A(z)$ es la función característica de a$A$, es decir, es $1$ si $z \in A$ e $0$ lo contrario.

Answer 1

Sí. Aquí es una prueba de dibujo:

1) es equivalente a La instrucción la instrucción $\frac{Z_n}{n}\rightarrow 2$ con prob 1, donde $$ Z_n = \sum_{i=1}^n \sum_{j \in \{1, ..., n\}, j \neq i} 1_{\{|X_i-X_j|\leq 1/n\}}$$

2) $E[\frac{Z_n}{n}]\rightarrow 2$ e $Var(\frac{Z_n}{n}) = O(1/n)$. Por lo tanto, $Var(\frac{Z_{n^2}}{n^2})=O(1/n^2)$ y por lo tanto $$ \frac{Z_{n^2}}{n^2} \rightarrow 2 \quad \mbox{with prob 1} $$

3) Para los índices de $k$ tal que $n^2\leq k <(n+1)^2$, por desgracia, no podemos "bastante" dicen que las $\frac{Z_{n^2}}{(n+1)^2} \leq \frac{Z_k}{k} \leq \frac{Z_{(n+1)^2}}{n^2}$ debido a que los indicadores de $1_{\{|X_i-X_j|\leq 1/n\}}$ ahora tienen dependencia en $n$. Para ello tenemos que ir a paso 4:

---

Aquí está una revisión:

4) Deje $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ ser un determinista de la secuencia de (posiblemente negativo) enteros que satisfacen $a_n = O(\sqrt{n})$ e $n + a_n \in \{1, 2, 3, \ldots\}$ para todos los enteros positivos $n$. Definir: $$R_n(\{a_n\}) := \sum_{i=1}^n \sum_{j \in \{1, …, n\}, j \neq i} 1_{\{|X_i-X_j|\leq 1/(n+a_n)\}}$$ Ahora podemos igualmente decir $E[\frac{R_n(\{a_n\})}{n}]\rightarrow 2$ e $Var(\frac{R_n(\{a_n\})}{n})=O(1/n)$, y por lo $R_{n^2}(\{a_n\})/n^2\rightarrow 2$ con prob 1. Además, para cualquier $k$ tal que $n^2\leq k <(n+1)^2$ tenemos $$ \frac{R_{n^2}(\{a_n\})}{(n+1)^2}\leq\frac{Z_k}{k} \leq \frac{R_{(n+1)^2}(\{b_n\})}{n^2}$$ para algunas secuencias $\{a_n\}$ e $\{b_n\}$.

Answer 2

Se puede utilizar también las herramientas relacionadas con $U$-estadísticas.

1. Primer paso: para los índices de $i=j$, el indicador es siempre uno, por tanto, es suficiente para demostrar la $$\frac 1n\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}\mathbf{1}_{(-1/n,1n)}\left(X_i-X_j\right)\to 1 \mbox{ a.s.}.$$
2. Definir $h_n(x,y):= \mathbf{1}_{(-1/n,1n)}\left(x-y\right)$ e $\mathcal F_i$ la $\sigma$-álgebra generada por las variables aleatorias $X_1,\dots,X_i$. Entonces $$\mathbb E\left[h_n\left(X_i,X_j\right)\mid\mathcal F_{j-1}\right]=g_n\left(X_i\right), $$ donde $g_n(x)=2/n$ para $1/n\leqslant x\leqslant 1-1/n$, $g_n(1)=g_n(0)=1/n$ e $g_n$ es por tramos afín.
3. Estamos, pues, se reduce a mostrar que $$ \frac 1n\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n} \left(h_n\left(X_i,X_j\right)-\mathbb E\left[h_n\left(X_i,X_j\right)\mid\mathcal F_{j-1}\right]\right)\0 \mbox{ a.s.} $$ $$ \frac 1n\sum_{i=1}^{n-1}\left(n-i\right)g_n\left(X_i\right)\1 \mbox{ a.s.} $$
4. La primera parte puede ser tratada por mirar el cuarto fin de momentos y el hecho de que para una martingala diferencias de secuencia $\left(D_i\right)_{i\geqslant 1}$, $$\left\lVert \sum_{i=1}^nD_i\right\rVert_4^2\leqslant 3\sum_{i=1}^n\left\lVert D_i\right\rVert_4^2. $$
5. Por otra parte, el control de $g_n(X_i)-2/n$.