¿Son todos los espacios de hilbert de dimensiones finitas isomorfos a los espacios con normas euclidianas?

Question

He leído que Hilbert espacios generalizar Euclidiana espacios de infinitas dimensiones.

Esto me sugiere que cualquier finito dimensional espacio de Hilbert es isomorfo a un espacio con la norma $||v||=\sqrt {v_1^2 +...+v_n^2}$. ¿Es esto cierto? Si no, entonces parece que es incorrecto decir que los espacios de Hilbert generalizar Euclidiana espacios de infinitas dimensiones (es decir, que sería más general que el).

Answer 1

Si se nos da un producto interior en un espacio de dimensión finita, siempre habrá un cambio de base que gira el dado por el producto interior en la distancia Euclídea.

Por definición, el producto $(\cdot,\cdot)$ puede ser representado como un simétrica positiva definida la matriz de $A$ tal que $(x,y) = x^T A y$. Ahora, por el teorema espectral (que probablemente aprendido en Álgebra Lineal) de la matriz $A$ tiene una base ortogonal de vectores propios. En otras palabras, existe una matriz ortogonal $M$ tal que $J = M^TAM$ es diagonal. Eso significa que $(x,y) = x^T M^TJ My = (Mx)^TJ(My)$.

Ejercicio: Uso positivo de la definición para demostrar $J$ ha positivas sólo las entradas de la diagonal $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n$.

De ello se desprende que hay es una matriz diagonal $L$ tal que $J=LIL = L^TIL$. Que da $$(x,y) = (Mx)^TL^TIL(My)= (LMx)^T(LMy)$$ Dicho de otra manera, para cada una de las $x,y$ hemos

$$\big(\,(LM)^{-1}x,(LM)^{-1}y\, \big) = x^T y$$

Eso significa que el producto es la distancia Euclídea del producto con respecto a la base con la matriz de transición $LM$.

Answer 2

Es cierto que en múltiples formas. Tienes que distinguir entre algebraicas y tological isomorphy.

Consideremos espacios vectoriales sobre $\mathbb{R}$, en el caso de $\mathbb{C}$ es análogo. En primer lugar, darse cuenta, de que cualquier espacio vectorial real $V$ de la dimensión de $n$ es (algebraicamente) isomorfo a $\mathbb{R}^n$. Para ver el isomorfismo, uno puede elegir una base arbitraria $$ b_1, ..., b_n \in V$$ de $V$ y, a continuación, definir la asignación $$ V \ni v \mapsto (\text{coordinates of v with respect to $b_1,...,b_n$}) \in \mathbb{R}^n \quad (\dagger).$$ No es difícil mostrar que este es un bijection así como un espacio vectorial homomorphism.

Así que cada finito dimensional espacio vectorial real V es algebraicamente isomorfo a $\mathbb{R}^n$.

Además, cada espacio de Hilbert de dimensión $n$ es topológicamente isomorfo a $\mathbb{R}^n$ (donde la topología en $H$ es inducida por el producto escalar de a$H$). Para ver esto, se dan cuenta de que $(\dagger)$ es un continuo bijection con inversa continua y, por tanto, un isomorfismo topológico.

Answer 3

Cualquier espacio euclidiano es el espacio de Hilbert, por lo que los espacios de Hilbert generalizan el euclidiano. Pero el espacio euclidiano no es solo un espacio lineal de dimensión finita, es un espacio lineal de dimensión finita con estructura adicional, ya sea un producto interno o una norma que satisface la ley del paralelogramo.

Dicha estructura se puede introducir en cualquier espacio dimensional finito, por lo que cualquier espacio dimensional finito es isomorfo para algunos euclidianos como espacio lineal.