¿Cuál es la topología asociada a las álgebras para la mónada del ultrafiltro?

Question

Es fácil encontrar referencias que afirman que la categoría de espacios compactos de Hausdorff $\mathbf{CompHaus}$ es equivalente a la categoría de álgebras para la mónada del ultrafiltro, $\mathbf{\beta Alg}$ . Después de investigar un poco, el $\mathbf{CompHaus}\to \mathbf{\beta Alg}$ La mitad de la equivalencia es bastante simple, pero no he podido encontrar una descripción de la $\mathbf{\beta Alg}\to \mathbf{CompHaus}$ la mitad de esta equivalencia. He intentado resolverlo, pero tengo poca experiencia con espacios topológicos y no estoy seguro de cómo debería ser la topología asociada.

Me pregunto si alguien tiene una buena referencia que describa el $\mathbf{\beta Alg}\to \mathbf{CompHaus}$ la mitad de la equivalencia, o puede describirla aquí.

Answer 1

La otra mitad de la equivalencia se describe en el Página de nLab sobre ultrafiltros .

Dada una estructura de álgebra $\xi\colon \beta X \to X$ definimos la topología en $X$ declarando que un subconjunto $U\subseteq X$ es abierto si y sólo si para cada punto $x\in U$ y cada ultrafiltro $F\in \beta X$ tal que $\xi(F) = x$ tenemos $U\in F$ .

Answer 2

La idea es sencilla: en un espacio topológico $X$ un subconjunto $A\subseteq X$ es cerrado si es cerrado bajo límites de ultrafiltros. Es decir, $A$ es cerrado si para cualquier ultrafiltro $F$ apoyado en $A$ (es decir, $A\in F$ ), todos los límites de $F$ están en $A$ .

Ahora supongamos que nos dan un $\beta$ -Álgebra $L:\beta X\to X$ . La idea es que $L$ lleva cada ultrafiltro a su límite. Así, un subconjunto $A\subseteq X$ debe ser cerrado si es cerrado bajo los límites de los ultrafiltros según $L$ que si $L(F)\in A$ para todos $F\in\beta X$ tal que $A\in F$ . O, replanteando esto en términos de conjuntos abiertos, un conjunto $U$ es abierto si para todo $F\in\beta X$ , $L(F)\in U$ implica $U\in F$ .

Es fácil comprobar que esto define una topología en $X$ y que cada ultrafiltro $F$ converge a $L(F)$ con respecto a esta topología (es esencialmente por definición la topología más fina tal que esto es cierto). Verificando que $L(F)$ es el único límite de $F$ (y por tanto la topología es Hausdorff compacta ya que cada ultrafiltro tiene un único límite) es más complicado y requiere utilizar las propiedades de asociatividad y unidad de $L$ como $\beta$ -Álgebra.

En detalle, primero dejemos $A\subseteq X$ y definir $$C(A)=\{L(F):F\in\beta X,A\in F\}.$$ Afirmo que $C(A)$ está cerrado. Supongamos que $F\in\beta X$ y $C(A)\in F$ . Sea $\mathcal{F}$ sea el filtro en $\beta X$ generado por los conjuntos $L^{-1}(B)$ para $B\in F$ junto con $\{G\in\beta X:A\in G\}$ ; estos tienen la propiedad de intersección finita ya que cada $B\in F$ tiene una intersección no vacía con $C(A)$ . Sea $\mathcal{G}$ sea un ultrafiltro en $\beta X$ ampliando $\mathcal{F}$ (así $\mathcal{G}\in\beta\beta X$ ). Ahora utilizamos la propiedad de asociatividad de $L$ que dice que $$L(\lim \mathcal{G})=L(\beta L(\mathcal{G}))$$ donde $\lim:\beta\beta X\to \beta X$ es el mapa estructural de la mónada $\beta$ en $X$ . Explícitamente, $\lim\mathcal{G}$ se define como el conjunto de $B\subseteq X$ tal que $\{G\in\beta X:B\in G\}\in \mathcal{G}$ . En particular, por nuestra elección de $\mathcal{G}$ tenemos $A\in\lim\mathcal{G}$ . Por otro lado, $\beta L(\mathcal{G})$ es por definición el conjunto de $B\subseteq X$ tal que $L^{-1}(B)\in\mathcal{G}$ y así $F\subseteq \beta L(\mathcal{G})$ . Desde $F$ es un ultrafiltro, esto significa que $\beta L(\mathcal{G})=F$ . Por lo tanto, concluimos que $$L(\lim\mathcal{G})=L(F)$$ donde $A\in\lim\mathcal{G}$ y por lo tanto $L(F)\in C(A)$ .

Así, para cualquier $A\subseteq X$ , $C(A)$ está cerrado. Tenga en cuenta también que $A\subseteq C(A)$ por la propiedad de la unidad de $\beta$ : $L$ envía cada ultrafiltro principal al punto correspondiente. (Se deduce fácilmente que de hecho $C(A)$ es el cierre de $A$ aunque no lo utilizaremos).

Ahora dejemos que $F\in\beta X$ y $x\in X$ y supongamos $F$ converge a $x$ en nuestra topología; demostraremos que $x=L(F)$ . Desde $F$ converge a $x$ todo conjunto cerrado en $F$ contiene $x$ . Así, para todos los $A\in F$ , $x\in C(A)$ ya que $C(A)$ es un conjunto cerrado y $C(A)\in F$ desde $A\subseteq C(A)$ . Sea $\mathcal{F}$ sea el filtro en $\beta X$ generado por los conjuntos $T_A=\{G\in\beta X:L(G)=x,A\in G\}$ para $A\in F$ tienen la propiedad de intersección finita ya que $T_A\cap T_B=T_{A\cap B}$ y $x\in C(A)$ para todos $A\in F$ . Ampliar $\mathcal{F}$ a un ultrafiltro $\mathcal{G}$ en $\beta X$ . De forma similar al argumento anterior, tenemos entonces $F=\lim\mathcal{G}$ y $\{x\}\in \beta L(\mathcal{G})$ así que $\beta L(\mathcal{G})$ es el principal ultrafiltro en $x$ . Por las propiedades de asociatividad y unidad de $L$ Así pues, tenemos $$L(F)=L(\lim\mathcal{G})=L(\beta L(\mathcal{G}))=x.$$

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Moralmente, lo que ocurre en estos argumentos es que la propiedad de asociatividad de $L$ dice que $L$ es "continua" desde la topología estándar en $\beta X$ a $X$ (ver esta respuesta mía para profundizar en esta idea). Así pues, para demostrar que $C(A)$ está cerrado, si tenemos una red en $C(A)$ convergiendo a un punto $x$ podemos elegir los ultrafiltros compatibles con $A$ que $L$ se asigna a cada punto de esta red. Entonces, si tomamos un punto de acumulación apropiado de estos ultrafiltros como puntos de $\beta X$ , $L$ asignará este punto de acumulación a $x$ por la continuidad. Esto dará un ultrafiltro que se apoya en $A$ (porque es un límite de los ultrafiltros soportados en $A$ ) que $L$ mapas a $x$ para demostrar que $x\in C(A)$ .

Entonces, si $F$ converge a $x$ tenemos $x\in C(A)$ para todos $A\in F$ para que podamos elegir los ultrafiltros $G$ con $L(G)=x$ que se apoyan en elementos arbitrariamente pequeños de $F$ . Estos ultrafiltros convergen entonces en $\beta X$ también $F$ y, por tanto, la continuidad de $L$ dice $L(F)=x$ también.