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Finitely generado plana módulos que no son proyectivos

Más a la izquierda noetherian anillos y más de semiperfect anillos, cada finitely generado plana módulo es proyectiva. ¿Cuáles son algunos ejemplos de finitely generado plana módulos que no están proyectiva?

Comparar a nuestra pregunta f.g. no plana libre donde todas las respuestas son f.g. proyectiva no libre.

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rschwieb Puntos 60669

Más de un von Neumann regular anillo, cada módulo correcto (y cada módulo de la izquierda) es plana. Deje $V$ ser una contables dimensional $F$ espacio vectorial, y deje $R$ ser el anillo de endomorphisms de dicho espacio vectorial. Se sabe que $R$ es una de von Neumann regular anillo con exactamente tres ideales.

El trivial ideal $I$ se compone de la endomorphisms con finito dimensionales de la imagen. A continuación, $R/I$ es plano, pero no se puede proyectiva. Si se proyectiva, a continuación, $I$ sería un sumando de a $R$... pero no lo es, porque es esencial ideal.


Un segundo ejemplo sobre cualquier no-Artinian VNR anillo: se puede tomar la $R/E$ para cualquier maximal derecho fundamental ideal $E$ para obtener un nonprojective, plano simple módulo. Los motivos son los mismos, ya que un adecuado derecho esencial que el ideal no puede ser un sumando de el anillo.


Usted puede incluso hacer un conmutativa de la versión: tomar una infinita producto directo de los campos de $\prod F_i$ (esto es von Neumann regular). El ideal de $I=\oplus F_i$ es un elemento esencial del ideal, y $R/I$ plano, nonprojective. (Esto también tiene el beneficio adicional de proveer ejemplos de ideales que son proyectivos, pero no gratis. Cualquier sumando de que el anillo se va a hacer, ya que el anillo tiene IBN. El argumento en el otro post puede ser llevado a cabo de nuevo.)


Por cierto, Puninski y Rothmaler han escrito un interesante papel de la investigación de que los anillos tienen todas las f.g. plano de los módulos proyectivos.

6voto

Martin Puntos 5810

Siguiente de Jack suaves codazos, voy a postear la parte de mi comentario no cubiertos por rschwieb bueno el post más prominente como una respuesta:

En general, este tipo de pregunta puede ser contestada rápidamente por la consultoría de Lam Conferencias sobre los Módulos y Anillos, Springer Posgrado Textos, Vol. 189, cuyos numerosos ejercicios resueltos y poner en mayor contexto de Lam a sí mismo en el texto que acompaña a los Ejercicios en los Módulos y Anillos. La sección §4E, Finitely generado plano de los módulos de las Conferencias contiene algunas condiciones suficientes en cuando.f.g. plana módulos proyectivos.

Aquí el ejercicio 4.17 con la solución, dando Vasconcelos el ejemplo de un director ideal $(a)$ en un anillo conmutativo tal que $R/(a)$ es plano, pero no proyectiva:

Vasconcelos's example

Este aparece como el Ejemplo 3.2 de Wolmer V. Vasconcelos, En finitely generado plana módulos, Trans. Amer. De matemáticas. Soc. 138 (1969), 505-512.

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