Más de un von Neumann regular anillo, cada módulo correcto (y cada módulo de la izquierda) es plana. Deje $V$ ser una contables dimensional $F$ espacio vectorial, y deje $R$ ser el anillo de endomorphisms de dicho espacio vectorial. Se sabe que $R$ es una de von Neumann regular anillo con exactamente tres ideales.
El trivial ideal $I$ se compone de la endomorphisms con finito dimensionales de la imagen. A continuación, $R/I$ es plano, pero no se puede proyectiva. Si se proyectiva, a continuación, $I$ sería un sumando de a $R$... pero no lo es, porque es esencial ideal.
Un segundo ejemplo sobre cualquier no-Artinian VNR anillo: se puede tomar la $R/E$ para cualquier maximal derecho fundamental ideal $E$ para obtener un nonprojective, plano simple módulo. Los motivos son los mismos, ya que un adecuado derecho esencial que el ideal no puede ser un sumando de el anillo.
Usted puede incluso hacer un conmutativa de la versión: tomar una infinita producto directo de los campos de $\prod F_i$ (esto es von Neumann regular). El ideal de $I=\oplus F_i$ es un elemento esencial del ideal, y $R/I$ plano, nonprojective. (Esto también tiene el beneficio adicional de proveer ejemplos de ideales que son proyectivos, pero no gratis. Cualquier sumando de que el anillo se va a hacer, ya que el anillo tiene IBN. El argumento en el otro post puede ser llevado a cabo de nuevo.)
Por cierto, Puninski y Rothmaler han escrito un interesante papel de la investigación de que los anillos tienen todas las f.g. plano de los módulos proyectivos.