TL;DR: en última instancia, hacer estudio de las secciones transversales de otros cono-como formas, solo que usted no sabe acerca a menos de que haya estudiado algo de la geometría algebraica.
Las secciones transversales de un cono de mentira en perspectiva. Imagínese que usted está sentado en el origen en $\mathbb{R}^{3}$ y mira hacia fuera a lo largo de un rayo (=mitad de la línea) que se encuentra dentro del cono. Arreglar un avión $\Pi$ que no pasa por el origen en $\mathbb{R}^{3}$ y mire la sección cónica $C$ dado por $\Pi.$ Desde su punto de vista, la sección cónica $C$ se ve como algo vagamente forma oval. Ahora girar el avión $\Pi$ sobre un punto fijo en $C$; sorprendentemente, su punto de vista no cambia! Su vagamente la forma ovalada se queda completamente quieto durante todo el proceso. Aunque, desde una perspectiva extrínseca, la sección cónica $C$ está cambiando drásticamente durante el proceso - tal vez al principio era un círculo, y luego como $\Pi$ gira, se convierte en una elipse, a continuación, muy brevemente, una parábola y, a continuación, una hipérbola - todo el tiempo, lo que se ve desde el origen tiene el mismo aspecto.
A grandes rasgos, el estudio de este fenómeno se conoce como geometría proyectiva. Moderna de la geometría proyectiva tiene sus raíces en esto, pero ha crecido mucho fuera de estos límites.
Supongamos que usted me da un polinomio $f(x,y)$ en dos variables; entonces la ecuación de $f(x,y)=0$ define un conjunto de puntos en $\mathbb{R}^{2},$ e este conjunto de puntos forma una curva. La curva puede ser una "sección cónica", como en el caso de $f(x,y)=x^{2}+y^{2}-1,$ o puede no ser, como en el caso de $f(x,y)=y^{2}-x^{3}-x^{2}+1.$
He aquí un truco: hacer un nuevo polinomio $F(x,y,z),$ esta vez en tres variables, como sigue: $F(x,y,z)=f(x/z,y/z)\cdot z^{\deg{f}}.$ veamos los dos ejemplos que he mencionado anteriormente, para tener una idea de esto. Si $f(x,y)=x^{2}+y^{2}-1,$luego
$$F(x,y,z)=f(x/z,y/z)\cdot z^{2}=z^{2}\left(\frac{x^{2}}{z^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}-1\right)=x^{2}+y^{2}-z^{2}.$$ In the same way, if $f(x,y)=y^{2} x^{3}-x^{2}+1,$ then $$F(x,y,z)=z^{3}\left(\frac{y^{2}}{z^{2}}-\frac{x^{3}}{z^{3}}-\frac{x^{2}}{z^{2}}+1\right)=y^{2}z-x^{3}-x^{2}z+z^{3}.$$ By construction, what we get at the end is always a homogeneous polynomial, that is, every monomial term in the polynomial is of the same fixed degree (in the above examples, $2$ and $3$, respectivamente).
¿Por qué es este lugar? Considerar el conjunto de puntos en $\mathbb{R}^{3}$ satisfacción $F(x,y,z)=0.$ ¿a qué se parece esto? En el caso de el círculo de $f(x,y)=x^{2}+y^{2}-1,$ llegamos $F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z^{2},$ e $\{(x,y,z):x^{2}+y^{2}=z^{2}\}$ es exactamente el cono estándar en $\mathbb{R}^{3}$! La "sección cónica" $x^{2}+y^{2}=1$ es lo que usted consigue cuando usted se cruzan esta superficie con el plano de $\Pi=\{z=1\}.$ Y, de hecho, más generalmente, si me puede dar cualquier polinomio homogéneo $F(x,y,z),$ entonces el conjunto $\{(x,y,z):F(x,y,z)=0\}$ va a ser un cono sobre la curva de $f(x,y)=F(x,y,1)=0.$ no se equivoquen: este "cono" no parece el tipo de cono puede ser utilizado para; será formas extrañas, de modo que la intersección con el plano de $\Pi=\{z=1\}$ va a volver a dar la curva de $F(x,y,1)=0.$
¿Qué significa esto? Esto significa que siempre que tenga una curva algebraica $f(x,y)=0$ en en el plano (y apuesto a que usted no hace mucho de esto, si o no te das cuenta), usted está, de hecho, ya considerando una "cónica" de la sección; es sólo el cono no es exactamente lo que usted está esperando! Pero tiene el mismo crucial de la "perspectiva" de la propiedad que señalo antes.
En la geometría algebraica, que iba a estudiar la homogeneización $F(x,y,z)=0,$ pero el moderno punto de vista no es para pensar en esto como una superficie en el espacio, sino como una curva en el plano proyectivo $\mathbb{P}^{2}$: cada línea que pasa por el origen en $\mathbb{R}^{3}$ es representado por un punto en $\mathbb{P}^{2}.$ me voy a dejar a usted imaginar una línea a través del origen de rotación alrededor en el espacio, y a veces está contenida, como un subconjunto, en la superficie de la $F(x,y,z)=0$ (pensemos en el caso especial de los ordinarios de cono $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ con el que usted ya está familiarizado), pero por lo general sólo se cruza esta superficie en el origen; los momentos en que está contenida en la superficie son los "puntos" en la "curva" $F(x,y,z)=0$ en $\mathbb{P}^{2}.$
Entonces, ¿por qué el enfoque en las clásicas secciones cónicas?
Esto tiene una respuesta simple: porque son el caso más fácil! Ellos son uno de los pocos verdaderamente accesible casos en geometría algebraica, en el sentido de que es muy fácil clasificarlos: usted tiene círculos, hipérbolas, y los puntos suspensivos (además de algunos degenerados de los casos). Con el más general de los "conos", esta clasificación no es siempre tan fácil! Y por otra parte, hay una buena cantidad que decir, muchas maneras de decir las cosas, y las matemáticas se relaciona con un montón de otras cosas (además de la geometría, el estudio de las secciones cónicas es, por definición, también el estudio de las formas cuadráticas).
