Aquí' cómo funciona:
Desde $\nabla \cdot i = 0$$\Omega$, e $\Omega$ es un "buen" región en $R^3$, es decir, simplemente se conecta, se trata básicamente de una bola abierta, topológicamente hablando, etc., de ello se deduce que existe un campo de vectores $G$ $\Omega$ tal que $\nabla \times G = i$. De hecho, hay muchos de estos campos. Por si $\phi:\Omega \to R$ es cualquier dos veces diferenciable con un valor real de la función, $\phi \in C^2(\Omega, R)$,$\nabla \times (G + \nabla \phi) = \nabla \times G + \nabla \times \nabla \phi = \nabla \times G = i$, ya que el $\nabla \times \nabla \phi = 0$, siempre. (El curl de un gradiente es cero, un estándar de cálculo vectorial resultado). Ahora $\nabla \cdot (G + \nabla \phi) = \nabla \cdot G + \nabla^2 \phi$. Considere la ecuación de $\nabla^2 \phi = \rho - \nabla \cdot G$$\Omega$; $\phi$ satisfactorio tenemos que tener esto $\nabla \cdot (G + \nabla \phi) = \nabla \cdot G + \nabla^2 \phi = \nabla \cdot G + \rho - \nabla \cdot G = \rho$. Tome $F = G + \nabla \phi$; a continuación,$\nabla \times F = \nabla \times G = i$$\nabla \cdot F = \rho$. Y el que lo hace.
Por supuesto, hay un par de advertencias. En primer lugar, a pesar de que han "construido" el campo de vectores $F$$\Omega$, es realmente más de una receta para la construcción en lugar de
una construcción de sí mismo. En el punto de hecho, no son parte integrante de las fórmulas que expresan $G$ en términos de $i$ $\phi$ en términos de $\rho - \nabla \cdot G$, no van a llegar muy lejos sin saber $i$ $\rho$ explícitamente. No obstante, suficiente para establecer la existencia del campo de vectores $G$ y el escalar campo $\phi$. Y en lo que respecta a este último punto, técnicamente ya que requieren que el $\phi$ satisfacer la ecuación de Poisson $\nabla^2 \phi = \rho - \nabla \cdot G$$\Omega$, que necesita para asegurarse de que $\rho$, $\nabla \cdot G$ y $\Omega$ son suficientemente agradable, y tenemos las condiciones de contorno en $\phi$. Yo no voy a a en la pesada análisis aquí, pero sospecho que, desde $\Omega$
es tan sencillo, se puede especificar $\phi$ $\partial \Omega = \{(x, y, z) \in R^3 \vert \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} + \frac{z^2}{16} = 1\}$ con un grado de latitud; probablemente tomando $\phi$ a ser cualquier función continua en $\partial \Omega$ será suficiente; y probablemente necesitaremos $i \in C^1(\bar{\Omega}, R^3)$. Aquí, por supuesto, tenemos $\bar{\Omega} = \{(x, y, z) \in R^3 \vert \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} + \frac{z^2}{16} \le 1\}$. Y también se $\rho \in C(\bar{\Omega}, R)$. Estos últimos requisitos para evitar que las cosas se sopla a medida que nos acercamos $\partial \Omega$, lo que puede invalidar la integral de fórmulas para $G$, $\phi$ a la que me refería.
Todas las referencias, tanto implícitos como explícitos, a los resultados obtenidos, viz., la existencia de $G$ $\nabla \times G = i$ y la solución a la ecuación de Poisson $\nabla^2 \phi = \rho - \nabla \cdot G$$\Omega$, se puede encontrar en la wiki ing/googlear alrededor de temas tales como la divergencia, curl, cálculo vectorial, la ecuación de Poisson y así sucesivamente. Hay una gran cantidad de material disponible en la web.
Finalmente, esta pregunta/respuesta están profundamente relacionadas con este.
Espero que ayude. Saludos.
