Conozco Laplace, Fourier y Mellin-Transformation.
¿Existe una teoría general de las transformaciones?
Mi interés principal es la clasificación de transformaciones que satisfacen propiedades específicas como la identidad de Parseval o algunas desigualdades.
¿Conoces un libro o un buen sitio web, donde pueda leer muchas cosas interesantes sobre este tema (o es un tema de investigación)?
Una transformación integral es un operador que asigna las funciones de un espacio a otro. Formalmente $$ T(f(x))=\int_{-\infty}^{\infty} K(x,y) f(y) dy $$
Ahora la práctica de la motivación para una transformación integral es reducir la complejidad del problema que yo.e la matemática de las operaciones de será mucho más fácil de manejar en el espacio de imagen.
Sin embargo, tanto como es divertido hacer el trabajo en el espacio de imagen, uno tiene que ser capaz de interpretar los resultados en el espacio original. Para ello se requiere el estudio de el operador $K$. Generalmente se sabe a priori la naturaleza de la función $f$ por la naturaleza del problema que se está tratando. Por lo tanto el estudio de la integral transforma es el estudio de el operador $T$. Dos propiedades muy fácilmente $$ T(f+g)=T(f)+T(g)\\ T(cf)=cT(f) $$
Para garantizar invertibility, uno tiene que demostrar que el espacio del kernel sólo contiene el valor null función.
El estudio abstracto de las transformadas integrales es la teoría de Fredholm. Consulte la integral se transforma y Aplicaciones por david ramage para obtener una información detallada sobre los distintos tipos de transformaciones.
Echa un vistazo a esta referencia por Ahmed Zayed.
Manual de Transformaciones de Funciones y Funciones Generalizadas .
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