¿Se puede realizar esta red como una red intermedia de subgrupos?

Question

Deje que$G$ sea un grupo finito y$H$ a subgrupo.
Sea$\mathcal{L}(H \subset G )$ la red de todos los subgrupos intermedios entre$H$ y$G$.

Deje la celosía$\mathcal{L}$ como sigue:

Pregunta: ¿Se puede realizar$\mathcal{L}$ como una red intermedia de subgrupos?

Nota : he comprobado mediante GAP que no hay ningún ejemplo para$[G:H]<32$.

Answer 1

Sí. El primer ejemplo fue dado por Aschbacher en el siguiente documento de 2008 (ejemplo 8.5).

Aschbacher, Michael. En los intervalos en los subgrupos de celosías de grupos finitos. J. Amer. De matemáticas. Soc. 21 (2008), no. 3, 809-830. enlace

Antes de este papel, Watatani (1994) han demostrado que con dos posibles excepciones, cualquier finito de celosía con $\leq 6$ elementos podría ser observado como un intermedio subfactor de celosía. En el papel por encima de Aschbacher encuentra ejemplos de estos dos celosías.