Grado de

Question

Deje $k$ ser un algebrically campo cerrado y considerar la posibilidad de $\mathbb{P}^1_k$ $1$- dimensiones proyectivas espacio de más de $k$.

Mi pregunta es la siguiente:

Vamos a considerar $f:\mathbb{P}^1_k\rightarrow \mathbb{P}^1_k$, ¿cuál puede ser el grado posible de este mapa?

Me contesté que si $f:X \rightarrow Y$ es una de morfismos de curvas, $\deg f =[K(X):K(Y)] $, por lo que en nuestro caso $\deg f $ puede ser igual a 1, y tiene que ser un isomorfismo, pero a mí me parece de alguna manera controintuitive (creo que a $S^1 \simeq \mathbb{P}^1_\mathbb{R} $ que admitt TOPOLÓGICAMENTE revestimientos de grado arbitrario por sí mismo).

Consecuencia: El mismo procedimiento ($[K(X):K(X)]=1$) se puede generalizar a genérico mapas de $f:X \rightarrow X$ donde $X$ es una curva, diciendo que este mapa sólo puede ser un isomorfismo... ¿Es esto cierto?

Answer 1

Dada una dominante de morfismos $f:X\to Y$ de las variedades (o, más generalmente, de integral localmente noetherian esquemas) el grado de $f$ es el grado de la correspondiente extensión de campo $f^*:K(Y)\to K(X)$.
Por ejemplo, el grado de $$f_n:\mathbb P^1_k\to \mathbb P^1_k: [x:y]\mapsto [x^n:y^n]$$ is the degree of the extension of fields $$f^*_n:k(t)\to k(t):t\mapsto t^n$$ where $t=\frac yx$.
Que el último grado es$n$, por lo que podemos obtener morfismos de cualquier grado: $deg (f_n)=n$.

Complemento opcional
Observe que si $k$ es un campo de caracteres $p\gt 0$ el Frobenius de morfismos $$Frob=f_p:\mathbb P^1_k\to \mathbb P^1_k: [x:y]\mapsto [x^p:y^p]$$ has degree $p$ (como se señaló anteriormente), pero es bijective, e incluso un homeomorphism.
Esto demuestra que, en general, situaciones que no podemos definir grados por ingenuamente contando los puntos en fibras: todas las fibras de la Frobenius morfismos consistir en un solo punto y, sin embargo, los morfismos tiene el grado $p$.
Observe cómo extraño es que una de morfismos que es un homeomorphism puede, no obstante no ser un birational mapa.