Independencia de los acontecimientos complementarios

Question

Supongamos que $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ es un espacio de probabilidad, $I$ es un conjunto arbitrario de índices y $\{A_i\}_{i \in I} \in \mathcal{F}^{I}$ . Para $i \in I$ definimos $B_i^{(0)} := A_i$ y $B_i^{(1)} := A_i^{\mathsf{c}}$ . Quiero $$ \exists \, \alpha \in \{0,1\}^{I} \colon \ \{B_i^{(\alpha_i)}\}_{i \in I} \text{ is independent } \Longrightarrow \{A_i\}_{i \in I} \text{ is independent }. $$

Sea $\alpha$ es la secuencia fija y $J \subseteq I$ con $|J|< \infty$ . Tenemos que demostrar que $$ \mathbb{P}\left( \bigcap_{j \in J} A_j \right) = \prod_{j \in J} \mathbb{P}(A_j). $$ Escribamos $J=J_0 \uplus J_1$ donde $J_0 = \{ j \in J \colon \alpha_j =0\}$ y $J_1 = \{ j \in J \colon \alpha_j =1\}$ . Entonces tenemos $$ \mathbb{P}\left( \bigcap_{j \in J} A_j \right) =\mathbb{P}\left( \bigcap_{j \in J_0} A_j \cap \bigcap_{j \in J_1} A_j \right) = \mathbb{P}\left( \bigcap_{j \in J_0} B_j^{(\alpha_j)} \cap \bigcap_{j \in J_1} A_j \right) $$ Para aplicar el supuesto necesito algo como $\bigcap_{j \in J_1} B_j^{(\alpha_j)}$ . Pero usando las leyes de De Morgan solo obtengo que $$ \bigcap_{j \in J_1} A_j = \left( \left(\bigcap_{j \in J_1} A_j \right)^{\mathsf{c}} \right)^{\mathsf{c}} = \left(\bigcup_{j \in J_1} A_j^{\mathsf{c}} \right)^{\mathsf{c}} = \left(\bigcup_{j \in J_1} B_j^{(\alpha_j)} \right)^{\mathsf{c}}. $$ ¿Cuál es la forma correcta de continuar la prueba?

Answer 1

Para dar más fuerza a la hipótesis de la inducción probemos de forma más general:

$\exists\alpha\in\left\{ 0,1\right\} ^{I}:\left\{ B_{i}^{\left(\alpha_{i}\right)}\right\} _{i\in I}\text{ is independent}\implies\forall\beta\in\left\{ 0,1\right\} ^{I}:\left\{ B_{i}^{\left(\beta_{i}\right)}\right\} _{i\in I}\text{ is independent}$

Supongamos que la afirmación no es cierta. Entonces algún subconjunto finito $J\subseteq I$ de forma que $\mathbb{P}\left(\bigcap_{j\in J}B_{j}^{\left(\beta_{j}\right)}\right)\neq\prod_{j\in J}\mathbb{P}\left(B_{j}^{\left(\beta_{j}\right)}\right)$ para algunos $\beta\in\left\{ 0,1\right\} ^{I}$ .

Sea $J$ sea tal conjunto y éste con cardinalidad mínima.

Ahora busca un $\beta\in\left\{ 0,1\right\} ^{I}$ tal que $\mathbb{P}\left(\bigcap_{j\in J}B_{j}^{\left(\beta_{j}\right)}\right)\neq\prod_{j\in J}\mathbb{P}\left(B_{j}^{\left(\beta_{j}\right)}\right)$ y $J_{1}=\left\{ j\in J\mid\alpha_{j}\neq\beta_{j}\right\} $ tiene cardinalidad mínima.

Entonces $J_{1}\neq\varnothing$ . Sea $r\in J$ con $\alpha_{r}\neq\beta_{r}$ .

$\prod_{j\in J-\left\{ r\right\} }\mathbb{P}\left(B_{j}^{\left(\beta_{j}\right)}\right)=\mathbb{P}\left(\bigcap_{j\in J-\left\{ r\right\} }B_{j}^{\left(\beta_{j}\right)}\right)=\mathbb{P}\left(\bigcap_{j\in J}B_{j}^{\left(\beta_{j}\right)}\right)+\mathbb{P}\left(\bigcap_{j\in J-\left\{ r\right\} }B_{j}^{\left(\beta_{j}\right)}\cap B_{r}^{\left(\alpha_{r}\right)}\right)=\mathbb{P}\left(\bigcap_{j\in J}B_{j}^{\left(\beta_{j}\right)}\right)+\prod_{j\in J-\left\{ r\right\} }\mathbb{P}\left(B_{j}^{\left(\beta_{j}\right)}\right)\left(1-\mathbb{P}\left(B_{r}^{\left(\beta_{r}\right)}\right)\right)$

contradiciendo que $\mathbb{P}\left(\bigcap_{j\in J}B_{j}^{\left(\beta_{j}\right)}\right)\neq\prod_{j\in J}\mathbb{P}\left(B_{j}^{\left(\beta_{j}\right)}\right)$ .

La primera igualdad es consecuencia de la minimalidad de $|J|$ y la tercera es consecuencia de la minimalidad de $|J_1|$ .

Concluimos que la afirmación debe ser cierta.

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editar para aclarar las cosas :

Para finito $J\subseteq I$ y $\beta\in\left\{ 0,1\right\} ^{I}$ abreviar $\mathbb{P}\left(\bigcap_{j\in J}B_{j}^{\left(\beta_{j}\right)}\right)\neq\prod_{j\in J}\mathbb{P}\left(B_{j}^{\left(\beta_{j}\right)}\right)$ por $P\left(J,\beta\right)$ .

Suponer que la afirmación no es cierta es lo mismo que suponer que conjuntos finitos $J\subseteq I$ existe con $\left\{ \beta\in\left\{ 0,1\right\} ^{I}\mid P\left(J,\beta\right)\right\} \neq\varnothing$ .

Elija $J$ y esto con una cardinalidad mínima.

Tenga en cuenta que $\beta$ aún no está fijado después de esta elección de $J$ . Que es el siguiente paso que hay que dar.

Tenemos $\left\{ \beta\in\left\{ 0,1\right\} ^{I}\mid P\left(J,\beta\right)\right\} \neq\varnothing$ y esto nos permite elegir $\beta\in\left\{ 0,1\right\} ^{I}$ tal que $P\left(J,\beta\right)$ y tal que $J_{1}$ tiene un mínimo de cardinalidad.