Dividiendo un octaedro en dos regiones congruentes

Question

Considere la posibilidad de un sólido octaedro, el cual incluye el interior. Deje $r$ ser el subconjunto consistente en el vértice superior, dos vértices adyacentes a ella, pero no el uno al otro, y los dos bordes entre ellos, como en el diagrama anterior. Deje $g$ ser congruentes subconjunto construido en los dos lados y tres vértices que no se intersecan $r$.

Ahora el color de cada punto de la octaedro rojo si está más cerca de algún punto de $r$ que a cualquier punto de $g$, y por el contrario verde si está más cerca de a$g$$r$. Podemos llamar a los conjuntos de puntos rojos y verdes $R$$G$; por simetría, que son congruentes. La separación entre ellos es el (de dos dimensiones) set $B$ de todos los puntos equidistantes de $r$$g$.

¿Qué $R$? ¿Qué forma es el límite de $B$?

A mí me parece que la intersección de a $B$ y la superficie del octaedro es un ondulante, aproximadamente cúbica lazo hecho de ocho segmentos parabólicos unir de extremo a extremo a extremo, pero no estoy seguro.

También parece plausible que $B$ es obtenido a partir de este wiggly bucle tomando la unión de los segmentos rectos de los puntos de bucle para el centro de $O$ del octaedro, pero de nuevo no estoy seguro.

En cualquier caso, yo no soy capaz de visualizar lo que esta realidad se parece o lo que el congruentes sólidos $R$ $G$ aspecto.

Answer 1

El locus de la frontera entre las dos regiones en el octaedro está dada por la condición de $$\frac{1}{2}(-x^2+y^2-4z) + (z-1)|x| + (z+1)|y| = 0, \quad |x| + |y| + |z| \le 1.$$ Como ya se señaló, esta es la unión de las cuatro secciones de paraboloides hiperbólicos. Ver la animación:

Considerar el octaedro con vértices $$(\pm 1, 0, 0), (0, \pm 1, 0), (0, 0, \pm 1)$$ in $\mathbb R^3$, and, because of the reflection symmetry, consider the quadrant where $x, y \ge 0$. Without loss of generality, suppose the red line is parametrized by $$R(t) : [0,1] \mapsto \mathbb R^3, \quad R(t) = (1-t)(0,1,0) + t(0,0,1) = (0, 1-t, t)$$ and the green line by $$G(u) : [0,1] \mapsto \mathbb R^3, \quad G(u) = (1-u)(1,0,0) + u(0,0,-1) = (1-u, 0, -u).$$ Then for a point $(x,y,z)$ on the boundary, the minimum distance to each line satisfies the condition $$\min_{u \in [0,1]} |G(u) - (x,y,z)| = \min_{t \in [0,1]} |R(t) - (x,y,z)|.$$ Para este fin, se han $$|R(t)-(x,y,z)|^2 = x^2 + (t+y-1)^2 + (t-z)^2, \\ 0 = \frac{d}{dt}\left[|R(t) - (x,y,z)|^2\right] \Rightarrow t = \frac{1-y+z}{2}.$$ Similarly, $$u = \frac{1-x-z}{2}.$$ Then solving the equality condition gives $$2x^2 + (y+z-1)^2 = 2y^2 + (x-z-1)^2.$$ This already implicitly defines the boundary in the given quadrant; so if we replace $(x,y,z)$ by $(|x|,|y|,z)$, we get the above relationship. We can also write it as $$z = \frac{x^2-y^2 + 2|x| - 2|y|}{2(2-|x|-|y|)}.$$

Answer 2

El límite está definido por el conjunto de puntos equidistantes de los dos segmentos de línea más cercanos.

Para cada par rojo / verde (4 pares), ese conjunto de puntos es un paraboloíodo hiperbólico.