Ninguna de estas afirmaciones son verdaderas, y la razón es, en esencia, que "La topología en $X\times Y$ no es el producto de la topología". Esto es más o menos el reclamo que está haciendo en parte $2)$, y, a continuación, este error hace que $1)$ a fallar. El hecho de que la topología no es sólo el producto de la topología es tal vez no es del todo sorprendente en el nivel de los programas (ya que el producto en sí no es el producto como conjuntos), pero creo que es relativamente sorprendente si usted está pensando acerca de esto en el nivel de los clásicos de variedades, donde sólo se puede definir el conjunto de los productos como el producto habitual, pero entonces tiene que trabajar más para definir la topología. Esta diferencia es debido a que una de las principales ventajas de la utilización de esquemas en lugar de la clásica variedades es que los puntos de un esquema de contener una gran cantidad de información acerca de la topología, los puntos de la clásica de la variedad (que son sólo para el cerrado de los puntos del esquema).
Un ejemplo en donde la $2)$ falla es donde$X = Y = \mathbb{A}^1_k$, $k = \bar{k}$ por la simplicidad. Luego que no-vacío conjunto abierto en $\mathbb{A}^1_k$ es sólo el complemento de un conjunto finito de (cerrado) puntos. Explícitamente, cualquier conjunto abierto es de la forma $D(f)$ algunos $f$ y se corresponde con el complemento de las raíces de $f$. A continuación, el producto $D(f) \times_k D(g) = \pi_X^{-1}(D(f)) \cap \pi_Y^{-1}(D(g))$ corresponde al complemento de un número finito de unión de las líneas en $\mathbb{A}^2_k$, correspondiente a las líneas verticales corresponden a las raíces de $f$ y las líneas horizontales corresponden a las raíces de $g$. Tenga en cuenta que una unión de los conjuntos de esta forma aún de esta forma, por lo que la topología generada por estos conjuntos es simplemente su unión. En particular, hay muchos bloques abiertos no es la forma, por ejemplo, la diagonal $D(X-Y)$, por lo que la topología real es mucho más rica que el producto de la topología.
Por otra parte, $1)$ tampoco es verdad. Usted podría probablemente sólo calcular el producto de la preimagen poleas en el ejemplo anterior, pero hay una manera más fácil que encaja con la filosofía utilizada anteriormente de que el producto de los esquemas es más que el ingenuo producto. Así como la topología de no ser el producto de la topología, el conjunto no es ni siquiera el producto de los conjuntos! En particular, puede haber distintos puntos en el producto que el proyecto a los mismos puntos en $X$$Y$. Para ver que esto es un problema, tenga en cuenta que:
$$(\pi^{-1}_X \mathcal{O}_X \otimes \pi^{-1}_Y\mathcal{O}_Y)_z \cong (\pi^{-1}_X \mathcal{O}_X)_z \otimes_k (\pi^{-1}_Y\mathcal{O}_Y)_z \cong \mathcal{O}_{X, \pi_X(z)} \otimes_k \mathcal{O}_{Y,\pi_Y(z)} $$
Y así, en particular, los puntos con la misma proyecciones a $X$ $Y$ deben tener la misma de los tallos. Sin embargo, con nuestro ejemplo anterior, observe que los números primos $(X-Y)$ $(0)$ se asignan a los genéricos de punto, ya sea bajo la proyección de a $\mathbb{A}^1$, y así los tallos del producto gavilla en ambos puntos son los mismos. Sin embargo, los tallos de la estructura de la gavilla son diferentes (e incluso podemos ver esto sin cálculo, el local anillos tienen diferentes dimensiones desde el cierre de los dos puntos diferentes codimension en $\mathbb{A}^2_k$).
Como Paf señala en los comentarios a tu pregunta, puedes mirar este post en mathoverflow para un poco más de discusión sobre lo que los puntos de la fibra de producto, y de lo que los tallos de la estructura de la gavilla del producto en dichos puntos. En particular, hay una gran cantidad de puntos donde el producto gavilla tendrá el mismo tallos, pero la estructura de la gavilla no. Observe que el mismo argumento se extiende a mostrar que no podemos ni reemplazar el producto tensor de la preimagen poleas con el producto tensor de la retirada de las poleas, o cualquier otra extensión razonable.
