$S(n)$ el conjunto de todas las raíces reales de$p_n(x)$ donde$p_{n+1}(x)=p(p_n(x))$, muestra que$S(n)\subseteq S(2n)$

Question

Yo estaba tratando este problema:

Deje$p(x)=p_1(x)=4x^3-3x$ y$p_{n+1}(x)=p(p_n(x))$ para cada entero positivo$n$. Además, deje que$S(n)$ sea el conjunto de todas las raíces reales de la ecuación$p_n(x)=x$. Demuestre que$S(n)\subseteq S(2n)$ y que el producto de los elementos de$S(n)$ es el promedio de elementos de $S(2n)$.

¿Alguien puede ayudar, con algunos consejos probablemente?

Answer 1

Algunos consejos: usted debe reconocer $p(x) = 4x^3 - 3x$ como un polinomio de Chebyshev. Es decir, se satisface $p(\cos \theta) = \cos (3\theta)$.

Por inducción, una identidad similar se tiene para $p_n(x)$. Esto le debe permitir caracterizar de soluciones a $p_n(x) = x$ $\cos \theta$ para algunos de ángulos $\theta$, de los cuales al menos demostrar que $S(n) \subseteq S(2n)$ no debería ser demasiado difícil.

Supongo que usted también puede resultar $S(n) \subseteq S(2n)$ a partir de primeros principios, sin siquiera saber nada acerca de $p(x)$, pero eso no es divertido.

La segunda parte de la pregunta se declaró unhelpfully; se hace más fácil una vez que te das cuenta de lo que el producto de los elementos de $S(n)$ es.

Answer 2

La observación clave es que,$p(x) = 4x^3 - 3x = T_3(x)$ no es más que un polinomio de Chebyshev . Una forma de presentarlos es como$T_n(x) = \cos(n\arccos x) $ o$T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ (poniendo$x=\cos \theta$), y es obvio que$T_n \circ T_m = T_{nm}$, por lo tanto,$p_n = T_3^n = T_{3^n}$.

Ahora,$S(n)=\{x|~p_n(x)=x\}$ es equivalente a$ \cos 3^n\theta = \cos \theta$ (puesto,$x=\cos\theta$). Ahora esto es solo un problema de trigonometría, ¿puedes continuar desde aquí?