Si tomamos la topología estándar en $\mathbb{R}$ podemos encontrar fácilmente dos conjuntos disjuntos que son densos, a saber $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ y $\mathbb{Q}$ . Del mismo modo, si tomamos la misma topología y la restringimos a $\mathbb{Q}$ podemos encontrar de nuevo dos conjuntos densos disjuntos. Definamos para cada primo $p$ : $$A_p:=\left\{ \frac{i}{p^j} : i,j\in\mathbb{Z}\right\} \setminus \mathbb{Z}$$ Para cualquier par de primos distintos $p, q$ uno puede ver fácilmente que $A_p \cap A_q=\emptyset$ y ambos $A_p$ y $A_q$ son densos.
Esto me hizo sentir curiosidad por las topologías generales, e intenté demostrar o refutar la siguiente hipótesis:
Dado cualquier espacio topológico $(X,\mathcal{T})$ , tal que para todos los no vacíos $S\in \mathcal{T}$ tenemos $|S| \ge2$ existen dos subconjuntos densos disjuntos de $X$ .
Mi intento inicial:
Utilice el axioma de elección para definir una función $f$ que selecciona un elemento de cada conjunto abierto no vacío en $X$ . Ahora, utiliza de nuevo el axioma de definir una función $g'$ que selecciona un elemento de cada conjunto en: $$ \mathcal{T}':=\left\{ S\setminus\left\{f(S)\right\}\,:\,S\in\mathcal{T}\setminus\{\emptyset\} \right\} $$ y luego definir $g(S):=g'\left(S\setminus\left\{f(S)\right\}\right)$ para todos los no vacíos $S\in \mathcal{T}$ . Esto significa que tanto $f(\mathcal{T})$ y $g(\mathcal{T})$ son densos, y además $f(S) \neq g(S)$ para todos los no vacíos $S\in \mathcal{T}$ . Mi intento era mostrar que $f(\mathcal{T})$ y $g(\mathcal{T})$ son disjuntos, pero luego me di cuenta de que esto es incorrecto. Cualquier ayuda será muy apreciada.
