Para lo cual $G$ tenemos $Hom(G, \mathbb Z/p)\cong(\mathbb Z/p)^n$ ?

Question

Sea $G$ sea un grupo abeliano finitamente generado y $Hom(G, \mathbb Z/p)\cong(\mathbb Z/p)^n$ . ¿Qué podemos decir sobre $G$ ? ¿Alguna sugerencia? Gracias

Answer 1

Por el teorema de estructura en grupos abelianos de tipo finito, $G$ es isomorfo a una suma directa (donde el $p_i$ son números primos, no necesariamente distintos):

$$G \simeq \mathbb Z^r \oplus \bigoplus_{i=1}^m \mathbb Z / p_i^{a_i}$$

Y por lo tanto $\mathrm{Hom}(G, \mathbb Z/p) \simeq \mathrm{Hom}(\mathbb Z, \mathbb Z/p)^r \oplus \bigoplus_{i=1}^m \mathrm{Hom}(\mathbb Z/p_i^{a_i}, \mathbb Z/p)$ . También es fácil demostrarlo: $$\mathrm{Hom}(H, \mathbb Z/p) \simeq \begin{cases} \mathbb Z/p & H = \mathbb Z \\ \mathbb Z/p & H = \mathbb Z/p^k \\ 0 & H = \mathbb Z/q^k \wedge q \neq p \end{cases}$$

La conclusión es que $r + |\{ i : p_i = p\}| = n$ (es una condición necesaria y suficiente).

Answer 2

En general, si $F$ es un campo y $G$ es un grupo abeliano, entonces, tratando $F$ como grupo aditivo, $\mathrm{Hom}(G,F)$ puede convertirse en un espacio vectorial sobre $F$ de forma sencilla.

Ahora bien, si $G$ es finitamente generado, entonces demuestre que el espacio vectorial debe ser finitamente dimensional. (Pista: El valor de cualquier homomorfismo de $G$ a $F$ está totalmente determinada por los valores de los generadores).

Esto demuestra que para todo $G$ existe un $n$ tal que $\mathrm{Hom}(G,\mathbb Z/p)\cong (\mathbb Z/p)^n$ . No te dice cómo calcular $n$ .