Probabilidad condicionada

Question

Una niña va a la escuela en autobús todos los días. Si no llueve, la probabilidad de que llegará tarde al bus es de 1/5. Si llueve probabilidad de que ella llegara tarde es de 2/3. Probabilidad de que llueva es de 1/4.

Chica olvidó recoger un autobús. Definir la probabilidad de que estaba lloviendo.

En esta tarea he hecho siguiente usando mi lógica, pero no estoy seguro si es correcto: P(a finales de autobús y llovió ese día) = P(lluvias)/P(tarde a la escuela y está lloviendo )= 1/4/2/3 = 3/8.

No estoy seguro de si es la correcta, así que les ruego por su ayuda.

Answer 1

Puede ser útil introducir algunos símbolos. Deje $L$ ser el caso de ella es tarde para el autobús, y deje $R$ ser el caso de las lluvias. Queremos que la probabilidad de que llueva, dado que ella es tarde. En símbolos, queremos $\Pr(R|L)$.

Hay algunas fórmulas que vienen en el juego. El más básico proviene de la definición de probabilidad condicional. Tenemos $$\Pr(R|L)\Pr(L)=\Pr(R\cap L).$$ Si podemos calcular el $\Pr(L)$ $\Pr(R\cap L)$ habremos finalizado.

En primer lugar, calcular $\Pr(R\cap L)$. La probabilidad de que llueva es $\frac{1}{4}$. Dado que llueve, la probabilidad de que ella es a finales del es $\frac{2}{3}$. Por lo que la probabilidad de que llueva y ella es tarde es $\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}$.

Siguiente calculamos el $\Pr(L)$. Ella puede ser tarde en dos formas: (i) llueve y ella es tarde, o (ii) Que no llueve y es tarde. Ya hemos calculado la probabilidad de que (i). De la misma manera, encontramos que la probabilidad de que no llueve y ella es tarde es $\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{5}$. Para encontrar $\Pr(L)$, sume las probabilidades de (i) y (ii).

Comentario: Aquí es imprecisa, pero de manera muy útil para ver el cálculo. Imaginar hacemos un seguimiento de lo que sucede en el $300$ días. Va a llover sobre $75$ días. En dos tercios de estos días ella va a ser tarde, así que va a ser tarde acerca de $50$ días a causa de la lluvia. No va a llover sobre $225$ los días, y ella va a ser tarde en cerca de un quinto de estos días, por lo $45$ días.

Así que ella es la tarde de un total de $50+45$ días. Vamos a limitar la atención (reducir el espacio muestral) para días ya era tarde. En $50$ de aquellos días estaba lloviendo. Por lo que la probabilidad de lluvia, dado que ella es tarde debe ser de alrededor de $\frac{50}{95}$.

Answer 2

Esta es una aplicación del teorema de Bayes: $$ \mathbb{P}(\text{lluvia}| \text{tiempo}) = \frac{\mathbb{P}(\text{lluvia} \de la tierra \text{tiempo} )}{\mathbb{P}(\text{tiempo} )} = \frac{\mathbb{P}( \text{tiempo} | \text{lluvia} ) \mathbb{P}(\text{lluvia})}{\mathbb{P}(\text{tiempo} | \text{lluvia} ) \mathbb{P}(\text{lluvia}) + \mathbb{P}(\text{tiempo} | \text{sin lluvia} ) \mathbb{P}(\text{sin lluvia})} = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} }{ \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} + \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4} } = \frac{5}{41} $$