Yo whould gustaría saber por qué $ \ \mathcal{C} : U \to \mathcal{C} ( U , \mathbb{R} ) $ es una gavilla ? $ U $ es un conjunto abierto de $ E $ $ \mathbb{R} $ - espacio vectorial que tiene una dimensión finita. $ \mathcal{C} ( U , \mathbb{R} ) $ contiene continuo de los mapas de más de $ U $, con valores en $ \mathbb{R} $. Muchas gracias. P. S : lo siento por mi inglés, idioma, soy un extranjero a los hombres de otro país. :-)
Respuesta
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La prueba va principalmente sencillo y este (niza funciones con restricción de dominio) es la "madre" es un ejemplo de todas las poleas: Dado $V=\bigcup U_i$$s_i\colon U_i\to\mathbb R$$s_i|_{U_i\cap U_j}=s_j|_{U_i\cap U_j}$$i.j\in I$, definir $s\colon V\to \mathbb R$ dejando $s(x)=s_i(x)$ donde $i\in I$ es arbitrario con $x\in U_i$. Tal $i$ existe porque $x\in V=\bigcup U_i$. La función es bien definidos, ya que si podemos elegir otro $j\in I$$x\in U_j$,$s_i(x)=s_j(x)$. Obviamente $s|_{U_i}=s_i$ todos los $i\in I$. Esto hace que $s$ continua para todos los $x\in U_i$, por lo tanto para todos los $x\in V$, es decir, $s$ es una sección más de $V$.
Esta $s$ es único para los si $s'\ne s$ $s'(x)\ne s(x)$ algunos $x$,$U_i$$x\in U_i$,$s'|_{U_i}(x)\ne s|_{U_i}(x)$, por lo tanto $s'|_{U_i}\ne s|_{U_i}=s_i$.
