El cálculo de una integral de contorno

Question

Quiero evaluar la integral $$\int_{\gamma} \sin{(2z)} \ {\rm d}z$$ where $\gamma$ is the line segment joining the point $i+1$ to the point $-i$.

Por lo tanto $\gamma(t) = -i+t(2i+1)$$0\le t\le1$.

Así que quiero calcular $$\begin{align}\int_{\gamma} \sin{(2z)} \ {\rm d}z &=\int^{1}_{0} f(\gamma(t))\gamma'(t) \ {\rm d}t\\ &=\int_{0}^{1} \sin{[2(-i+t(1+2i))]}(1+2i) \ {\rm d}t \\ &=(1+2i)\int^{1}_{0} \sin{[2t+i(4t-2)]} \ {\rm d}t \\ &= (1+2i)\int^{1}_{0} \sin{(2t)}\cosh{(2-4t)}-i\cos{(2t)}\sinh{(2-4t)} \ {\rm d}t \\ &=(1+2i)\left[\int^{1}_{0}\sin{(2t)}\cosh{(2-4t)} \ {\rm d}t\, - i\int^{1}_{0}\cos{(2t)\sinh{(2-4t) \ {\rm d}t}}\right]\end{align}$$

Ahora esto parece extremadamente largo aliento, ¿hay alguna otra manera de calcular esto?

Answer 1

Tenemos $\gamma(t)=-i+t(2i+1)$$0\le t\le 1$. Desde $\gamma$ es suave y $f(z) = \sin{(2z)}$ es continua, vamos a $F = \int f$ y la nota $\gamma(1)=1+i$, $\gamma(0)=-i$. Por el teorema fundamental del cálculo aplicado a las integrales de contorno

$$\int_{\gamma} f = F(\gamma(1))-F(\gamma(0)).$$

Por lo tanto,\begin{align}\int_{\gamma} \sin{(2z)} \ {\rm d}z &= -\frac{1}{2}\cos{(2(1+i))}+\frac{1}{2}\cos{(2(-i))} \\ &= \frac{1}{2}\left[\cos{(2i)-\cos{(2+2i)}}\right].\end {align}