determinar todos los polinomios $P(x)$ tal que $(x+1)P(x-1)-(x-1)P(x)$ es un polinomio constante

Question

Determinar todos los polinomios $P(x)$ con coeficientes reales tales que $(x+1)P(x-1)-(x-1)P(x)$ es un polinomio constante.

• claramente tenemos que mostrar $(x+1)P(x-1)-(x-1)P(x)=c$ para todos los valores de $x$ ( $c$ es una constante real)
• he probado esto: ver si $r$ es una raíz de $P(x)$ puis $P(r)=0$ y luego $(r+1)P(r-1)=c$ . Ahora consideramos $P(x)=a(x-r)(x-c)(x-d)\cdots(x-l)$ , por lo que tenemos $$(r+1)P(r-1)=(c+1)P(c-1)=(d+1)P(d-1)=\dots\\=(l+1)P(l-1)=\pm 2rcd\dots l=c$$ [porque ver $P(0)=P(-1)=\dfrac{c}{2}$ ]
• ¡¡¡¡¡¡¡entonces estoy atascado!!!!!!! ver $P(x)=v$ es una solución donde $v$ es una constante.

Answer 1

Como dijo Vanchinathan en los comentarios,

Tome $P(x)= \sum\limits_{n=0}^r a_n x^n$ entonces introduce esto en la ecuación

se obtiene $\sum\limits_{n=0}^r a_n [ (x+1)(x-1)^n-(x-1)x^n]=c$

así que $2 a_0 + a_1 (x-1) + \cdots+ a_r [ (x+1)(x-1)^r-(x-1)x^r]=c$ y

entonces se crean ecuaciones lineales con los coeficientes utilizando la igualdad de polinomios con el RHS. Espero que esto ayude un poco.

Answer 2

Dejemos que $(x+1)P(x−1)−(x−1)P(x)=C=const$ . Establecer $x=2$ para conseguir $$P(2)=3P(1)-C.$$ Set $x=3$ para obtener $$P(3)=6P(1)-\frac{5}{2}C.$$ Esto nos motiva a intentar demostrar por inducción que $$P(n)=\frac{n(n+1)}{2}P(1)-\frac{(n-1)(n+2)}{4}C$$ para cada número entero $n\geq 2.$ De hecho, si suponemos que la última igualdad se mantiene para algunos $n\geq 2,$ entonces para $n+1$ acabamos de establecer $x=n+1$ y obtener $$P(n+1)=\frac{1}{n}\bigg( \frac{n(n+1)(n+2)}{2}P(1)-\frac{(n-1)(n+2)^2+4}{4}C \bigg)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}P(1)-\frac{n(n+3)}{4}C$$ como se desee. Pero como $P$ coincide con un polinomio cuadrático en infinitos valores enteros, concluimos que $P$ es cuadrática. Si entonces dejamos que $P(x)=ax^2+bx+c,$ podemos introducirla en la ecuación original y ver que todas las soluciones son de la forma $$P(x)=ax^2+ax+\frac{C}{2},$$ donde $a$ es un número real arbitrario y $C$ es la constante dada al principio.