$X_1,...$ independiente, $S_n := \frac{1}{n}(X_1+\cdots + X_n)$ y $A := \{x: \lim_{n \to \infty} S_n(x) \text{ exists in } \mathrm{R}\cup \{\pm \infty\}\}$
Entonces: $P(A) \in \{0,1\}$ .
La idea es utilizar la ley 0-1 de Kolmogorov y demostrar así que $A$ está en la cola-álgebra del $X_n$ (son independientes).
El comentario de Davide Giraudo lo hace. Sólo escribe para ser arbitrario $k$ $$S_n=\frac{X_1+\ldots+X_n}{n}=\frac{X_1+\ldots+X_k}{n} +\frac{X_{k+1}+\ldots+X_n}{n}=A_n+S_n^{(k)}$$ y observar que desde $A_n$ va a $0$ , límite de $S_n$ existe si el límite de $S_n^{(k)}$ existe. El razonamiento es válido para cada $k$ Por lo tanto $$\{\lim_{n\to \infty} S_n \text{ exists}\}=\bigcap_{k=1}^\infty \{\lim_{n\to \infty} S_n^{(k)}\text{ exists}\} \in \bigcap\limits_{k=1}^{\infty} \sigma(X_k,X_{k+1},\ldots),$$ que es la cola $\sigma$ -Álgebra.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
