Cómo deducir la siguiente fórmula para la inversa de una matriz?

Question

Me encontré con el siguiente teorema:

Deje $A$ ser un nonsingular plaza de $p \times p$ matriz y $z$ ser un p-dimensional vector columna. La matriz $(A - z z^T)^{-1}$ está dado por

$$(A- zz^T)^{-1} = A^{-1} + \frac{A^{-1}zz^TA^{-1}}{1-z^T A^{-1}z}$$

Ahora he intentado utilizar $A-zz^T$ multiplicar la matriz en el lado derecho de la fórmula anterior y no puedo obtener una matriz de identidad. He intentado:

$$(A^{-1} + \frac{A^{-1}zz^TA^{-1}}{1-z^T A^{-1}z})(A-zz^T) = I - A^{-1}zz^T - \frac{1}{1-z^TA^{-1}z}(A^{-1}zz^T+A^{-1}zz^TA^{-1}zz^T)$$

Aquí es donde me quedé atrapado. Alguien me puede ayudar en esto por favor?

Answer 1

Has casi lo tienes! Hay una pequeña errata en la fórmula: el último término debe ser $$ {}+ \frac{1}{1-z^TA^{-1}z}(A^{-1}zz^T-^{-1}zz^TA^{-1}zz^T). $$ Y aviso que esto es igual a $$ \frac{1}{1-z^TA^{-1}z} \big( A^{-1}z ( 1 - z^TA^{-1}z) z^T \big), $$ que debe llegar a donde usted quiere ir.

Answer 2

Es un caso particular de Sherman-Morrison teorema de

(https://en.wikipedia.org/wiki/Sherman%E2%80%93Morrison_formula)

con $u=z$$v=-z$.

Answer 3

Recuerde que la multiplicación de matrices es asociativa significado $(AB)C = A(BC)$, de modo que

$$(A^{-1}zz^T)(A^{-1}zz^T) = A^{-1}z(z^TA^{-1}z)z^T = (z^TA^{-1}z).A^{-1}zz^T$$

Observe que la última igualdad se debe al hecho de que $z^TA^{-1}z$ es un escalar. Regresar a la igualdad que tenemos ahora:

$$ \begin{alignat}{} (A^{-1} + \frac{A^{-1}zz^TA^{-1}}{1-z^T A^{-1}z})(A-zz^T) &&= I - A^{-1}zz^T + \frac{1}{1-z^TA^{-1}z}(A^{-1}zz^T - A^{-1}zz^TA^{-1}zz^T) \\\\&&= I - A^{-1}zz^T + \frac{1}{1-z^TA^{-1}z}(A^{-1}zz^T - (z^TA^{-1}z).A^{-1}zz^T) \\\\&&= I - A^{-1}zz^T + \frac{A^{-1}zz^T}{1-z^TA^{-1}z}(1 - (z^TA^{-1}z)) \\\\&&= I \end{alignat} $$