Demostrando que $x$ es un elemento del grupo $G$ por multiplicación por la izquierda

Question

$G$ es un grupo y $H \leq G$ con $|G:H|=3$ . Demuestre que $x$ es un elemento de $H$ si $x \in G$ con $|x|=7$ . Sugerencia: deje que $\langle x \rangle$ actuar $G/H$ por multiplicación por la izquierda y mira las órbitas.

Dado que el índice de $H$ sur $G$ es $3$ podemos nombrar los elementos de $G/H$ :

$1H=H$ , $g_1H$ y $g_2H$

Excepto el elemento neutro, todos los elementos de $\langle x \rangle$ tener orden $7$ desde $7$ es un primo.

$x^n \cdot H$ es un subconjunto de uno de $H$ , $g_1H$ o $g_2H$

$x^n \cdot g_1H$ es un subconjunto de uno de $H$ , $g_1H$ o $g_2H$

$x^n \cdot g_2H$ es un subconjunto de uno de $H$ , $g_1H$ o $g_2H$

Hasta aquí mis pensamientos. No sé cómo puedo concluir nada sobre las órbitas y mucho menos concluir que $x$ es un elemento de $H$ . ¿Cómo proceder?

Answer 1

La acción mencionada en la pista da un homomorfismo $\phi: \langle x \rangle \to S_3$ . Debemos tener $\phi(x)=1$ porque el orden de $\phi(x)$ debe dividir ambos $7$ y $3!=6$ que son coprimos. En otras palabras, $x$ actúa sobre los cosets de $H$ como la identidad, y así $xH=H$ . Esto sólo puede ocurrir si $x \in H$ .