La generalización de Hahn-Banach Teorema de

Question

Deje $Y$ ser un subespacio de un localmente convexo espacio vectorial topológico $X$. Supongamos $T:Y\longrightarrow l^\infty$ es un operador lineal continuo. Demostrar que $T$ puede ser extendido a un continuo lineal operador $\tilde T:X\longrightarrow l^\infty$ tal que $\tilde T|_Y=T$.

Podemos extender cada coordenada lineal, funcional lineal continuo funcional en $X$. Pero no sé cómo demostrar a la serie todavía está en $l^\infty$. Tenga en cuenta que la pregunta da localmente convexo topológicos, espacios vectoriales, pero no normativa espacio. Por lo tanto no soy capaz de extender la coordenada funcionales preservación de sus normas, que no son bien definidos.

Cómo probar? Se agradece un montón

:)

Answer 1

Si $T:Y\to\ell^\infty$ es lineal y continua, no es una semi-norma $p$ $X$ con $$\|T(y)\|_{\ell^\infty} \le p(y) \text{ for all $s\in S$}.$$ Como usted dijo, usted puede aplicar de Hahn-Banach para cada coordenada de $T$ (siempre con el mismo dominando $p$).